Uma solu��o alternativa para a quest�o 4: Considere R = (2 + sqrt(3))^k e R* = (2 - sqrt(3))^k Considere R = I + F, onde I e F s�o as partes inteira e fracion�ria do n�mero respectivamente.
� f�cil notar que R* � o complemento da parte fracion�ria de R isto �, que F + R* = 1. Isto porque: A) �> R + R* = 2n, onde n � um n�mero inteiro. Para ver isso Basta usar expandir o bin�nmio: R = 2^k + k*2^(k-1)sqrt(3) + (k,2)*2^(k-2)*3 + (k,3)*2^(k-3)*sqrt(3)^3 .... + sqrt(3)^k R* = 2^k - k*2^(k-1)sqrt(3) + (k,2)*2^(k-2)*3 - (k,3)*2^(k-3)*sqrt(3)^3 .... +- sqrt(3)^k Os termos onde sqrt(3) aparece com expoente �mpar tem sinais opostos em R e R* e se cancelam ao somar-se R + R*. J� os termos onde sqrt(3) aparece em expoente par tem o mesmo sinal e se somam, de forma que: R + R* = 2 * (2^k + (k,2)*2^(k-2)*3 + (k,4)*2^(k-4)*3^2 ....) Resumindo, R + R* � inteiro e par. B)-> R* � menor do que 1, porque sqrt(3) � menor do que 1. Juntando A com B percebe-se que R + R* = I + 1. Como sabemos que R+R* = 2n � par, vem que I = R + R* - 1 s� pode ser �mpar... Deve ser mais ou menos isso, apesar de que quest�es resolvidas depois do almo�o sempre saem com algum problema... []�s Demetrio --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > No dia 15 de abril houve aqui na PUC um evento > chamado PUC por um dia. > Neste dia eu organizei uma olimp�ada rel�mpago, com > alguns dos meus > problemas ol�mpicos mas relativamente f�ceis > favoritos. Convido voc�s > a darem uma olhada. Est� aqui: > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/20050415/ > > []s, N. > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > __________________________________________________ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
