01) Nas �guas paradas de um lago, Marcelo rema seu barco a 12km por hora. Num certo rio, com o mesmo barco e as mesmas remadas, ele percorre 12km a favor da corrente e 8 km contra a corrente, num tempo total de 2 horas. Qual era a velocidade do rio, quanto tempo ele levou para ir e quanto tempo para voltar ?
Resolu��o:
O valor absoluto da velocidade do barco � 12 km/h.
Vamos adotar o sentido da corrente do rio como positivo.
Primeiro o barco se moveu 12 km a favor da corrente, neste caso a velocidade do rio foi a favor do movimento.
12 + Vr = 12 / T1 ( 1 )
Depois ele se movimentou 8 km em sentido oposto ao da corrente, aqui a velocidade foi contra o movimento.
12 - Vr = 8 / T2 ( 2 )
Sabemos que o intervalo de tempo do percurso foi de 2 horas.
T1 + T2 = 2 ( 3 )
De ( 3 ) sabemos que T1 = 2 - T2 Somando ( 1 ) e ( 2 ) e fazendo a substitui��o para T1.
24 = 12 / (2 - T2) + 8 / T2
Resultando numa equa��o de 2� grau.
24T2^2 - 44T2 + 16 = 0
Cujas ra�zes s�o 4/3 e 1/2.
Para cada uma destas ra�zes obtemos um T1 correspondente.
T2 = 4/3 h ---- > T1 = 2/3 h
T2 = 1/2 h ---- > T1 = 3/2 h
Substituindo os pares de tempo nas equa��es ( 1 ) e ( 2 ) obtemos valores para a velocidade do rio.
( i ) Quando T2 = 4/3 h e T1 = 2/3 h, obtemos Vr = 6 km/h
( ii ) Quando T2 = 1/2 e T1 = 3/2, obtemos Vr = - 4 km/h
Como adotamos o sentido da corrente como positivo a solu��o ( ii ) n�o se aplica.
Conclus�o T1 = 2/3 h, T2 = 4/3 h e Vr = 6km/h
02) Os alunos de uma turma fizeram uma coleta para juntar 405 reais, custo de uma excurs�o. Todos contribu�ram igualmente. Na �ltima hora, dois alunos desistiram. Com isso, a parte de cada um sofreu um aumento de um real e vinte centavos. Quantos alunos tem a turma ?
Resolu��o:
Vc tem N alunos e cada aluno pagou uma taxa T em reais totalizando 405 reais.
T * N = 405 ( 1 )
Na �ltima hora dois alunos desistiram, logo a taxa teve de ser aumenta de R$ 1,20 para que o montante de R$ 405 diminuisse.
(A-2) * (T + 1,2) = 405 ( 2 )
De ( 1 ) sabemos que T = 405 / N
Substituindo em ( 2 ) e desenvolvendo
(N -2) * ( 405/N + 1,2) 405
(405 * N) / N + 1,2N - 810 / N -2,4 = 405
405 + 1,2N - 810 / N -2,4 = 405
Da� obtemos uma equa��o de segundo grau:
1,2N^2 - 2,4N -810 = 0
As raizes s�o 27 e -25.
Como n�o existe quantidade negativa de alunos o total de alunos � 27.
[]'s
Americo Junior
-- No virus found in this outgoing message. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.308 / Virus Database: 266.10.2 - Release Date: 21/4/2005
========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
