Chic�o escreveu:
>Todo matematico que se preze possui, nem que seja um
>pouquinho, um desejo de saber mais que os outros :p...
Assim como todo atleta. Mas at� onde nosso
c�rebro consegue armazenar coisas? Li num livro de neurosci�ncia
um cara que armazenava pi com 30.000 casas decimais.
Ele usava um truque que era dividir pi em
blocos de 10 d�gitos e blocos de
10 d�gitos em blocos de 10 d�gitos e por a� vai.
Do ponto de vista humano, todavia, isso pode gerar crises:
N�o � agrad�vel perder. Muito pelo contr�rio (horm�nios
de estresse em excesso destr�em neur�nios do hipocampo).
Ganhar por outro lado estimula
os centros de prazer do c�rebro e libera endorfinas e catecolaminas
que ajudam a pensar melhor (nos deixa mais "espertos").
Diria jocosamente que Galois se
"inteligenciava" �s custas do "emburrecimento" de seus companheiros.
Embora pare�a um exagero, um estudo antropol�gico
mostrou que macacos dominadores
tinham neur�nios com mais ramifica��es que macacos dominados.
>Acredito que mostrar a veracidade ou a falsidade pode
>ser uma defini�ao de demonstra�ao.Sabe o que Godel
>mostrou em termos pr�ticos??Que existem proposi�oes no
>sistema formal(ele mostrou uma, a famosa
>autoreferencia, mas pode haver outras,desde que ele
>contenha aritmetica de peano)que podem ser provadas
>verdadeiras e falsas...j� imaginou o provador de
>teorema ora mostrando que a afirmativa era falsa ora
>que a proposi�ao � verdadeira???
Neste caso isso significaria, em termos pr�ticos,
que o conjunto de axiomas utilizados
� inconsitente, pois na matem�tica n�o pode haver
contradi��o. Ter�amos que buscar um conjunto de
axiomas consistente.
Mesmo assim n�o conseguir�amos provar
a consist�ncia deste conjunto, pelo teorema de G�edel,
que voc� citou.
>Pois � ....sabe o que
>Turing mostrou em termos praticos???Que nao existe
>algoritmo geral que identifique se uma dada proposi�ao
>� inconsistente ou nao...(Diz-se que tal problema �
>INDECIDIVEL)e por redu�ao, nao existe algoritmo que
>identifique todas as proposi�oes inconsistentes do
>sistema de axiomas ...
O PROCEDIMENTO existe, por�m ele N�O P�RA (problema
da parada da m�quina de Turing), da� ele n�o � um ALGORITMO
geral para provar inconsist�ncia. De fato n�o existe, pelo teorema
de Turing, tal ALGORITMO:
O exemplo abaixo mostra isso:
--------------------------------------------
Situa��o 1:
-Passo 1:
A �nica forma de saber se o conjunto de
axiomas � inconsistente
seria ent�o derivar *todos* os teoremas daquele conjunto
de axiomas e ver se um dos teoremas aparece ora como
verdadeiro e ora como falso.
- Passo 2:
Se ocorrer incosist�ncia ent�o trocamos
um axioma (se pudermos) e colocamos outro e repetimos o passo 1 at�
que o conjunto de axiomas seja consistente.
Coment�rio: Esse � o famoso "procedimento
dos macacos". Seria como colocar um monte de macacos
sentados em frente a m�quinas de escrever e pedir que
eles digitassem a enciclop�dia brit�nica.
Situa��o 2:
Supondo que o algoritmo acima parou,
chegamos aqui com um conjunto de axiomas consistente.
Mas pelo teorema da incompletude de G�edel, ainda
haveriam proposi��es que n�o seriam nem verdadeiras
nem falsas neste conjunto. Da� poder�amos colocar mais
um axioma para torn�-la verdadeira (ou falsa). Para
saber isso voltamos � Situa��o 1 passo 1 com esse novo
conjunto (leia novamente Situa��o 1 passo 1).
------------------------------------
Conclus�o: Isso n�o para.
Notamos que G�edel mostrou que n�o
adianta colocar mais axiomas ou trocar axiomas:
Sempre continuariam existindo proposi��es que n�o s�o
nem verdadeiras nem falsas.
Al�m � claro de n�o sabermos
se o axioma adicionado tornou o conjunto de axiomas
incosistente. Nem o computador o saberia.
Notamos tamb�m que um axioma pode ser independente
dos outros. Isso daria surgimento a novos ramos da matem�tica
(como novas geometrias).
A implica��o filos�fica de tudo isso �
sempre existe expans�o do conhecimento humano
e apenas n�s humanos podemos saber o que � plaus�vel
acrescentar em termos axiom�ticos.
O computador n�o pode fazer isso, pois demoraria
s�culos, mas a mente humana sempre poderia.
>Ser�??E isso nao era em essencia o que Hilbert pensava
>tambem??
Sim. Foi exatamente isso o que G�edel tomou como base para
suas provas metamatem�ticas usando a l�gica.
>Algoritmo � algoritmo nao ha surpresas, da mesma forma
>que alguem domina o algoritmo da multiplica�ao sem
>saber a sua essencia ela pode dominar matematicamente
>um assunto, sabendo os algoritmos empregados.....
Claro. O computador domina o algoritmo da multiplica��o
sem saber sua ess�ncia. O que eu quiz dizer � que h� uma
grande probabilidade de um humano se "robotizar" quando
o assunto � matem�tica avan�ada.
>Principios sao principios....:)
>Sei n�o...e a logica??Nao tem um filosofo grego ai que
>diz que os conceitos abstratos estao na nossa mente???
Parece que sim. E qual a raz�o disso? Recentemente
escrevi um paper mostrando como a geometria do c�rebro
era consistente com o mundo f�sico e auto-consistente.
Da� a matem�tica seria um mero reflexo do pensamento
anal�tico.
>Matematica envolve o cora�ao tambem :)
Ta� algo interessante. Francis Crick dizia que
a evolu��o � mais inteligente que n�s. Ent�o apesar
de muitos considerarem que a emo��o � burra ela
parece ter componentes inteligentes, por outro lado.
[]s a todos.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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