Me deparei com o seguinte problema:
Seja X = (x[n]) uma sequencia limitada em R.
Prove que se L � o conjunto dos v pert R tal que exista uma subsequencia de X que converge para v, entao limsup(x[n]) = sup L
Bom o que eu consegui at� agora foi isso:
Suponha que exista uma subsequencia que convirja para um numero v maior do que limsup(x[n]).
Ora, como v � limite de uma subsequencia de (x[n]) entao existem infinitos termos da sequencia que estao no intervalo (v-eps, v+eps) para qualquer eps > 0. Em particular existem infinitos indices n tal que x[n] > limsup(x[n]), mas isto � uma contradicao pois limsup(x[n]) � justamente o menor elemento de (x[n]) tal que existam apenas um numero finito de elementos de (x[n]) maior do que ele.
Acredito que eu mostrei aqui que limsup(x[n]) � apenas um limitante superior para L certo? Como eu mostro que ele � o menor limitante superior (e portanto o sup) de L ?
Obrigado antecipadamente.
Niski. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
