Sauda,c~oes,
Oi Claudio,
O que voc� disse � verdade, inclusive no CRUX teve algu�m fazendo o mesmo coment�rio. S� que a refer�ncia � o livro A=B do Doron Zeilberger e outros, publicado por A K Peters. H� um programa que resolve tais problemas, inclusive pedi e fui atendido pelo Doron na busca (de algumas) pela recorr�ncia que estas somas satisfazem.
O problema que voc� menciona � realmente dif�cil. Ele � o problema 52 no livro que vou lan�ar l� pelo dia 15/05, envolvendo 121 somas combinat�rias. O das colunas � o 12.
Resolvo algebricamente (combina��o de resultados) SOMA(k=0...n) Binom(p+k,m)*Binom(n-k,m) = Binom(n+p+1,2m+1) (m>=p>=0).
Imagino que no IME a solu��o apresentada foi combinat�ria. Estas solu��es combinat�rias n�o fazem parte do livro. J� come�o a pensar numa pr�xima edi��o com elas. Indo a SP como j� lhe disse, poderemos falar a respeito.
A soma parecida SOMA(k>=0) Binom(m,k)*Binom(n+k,m) foi tirada do Winning Solutions do Rousseau. N�o tem forma fechada conhecida mas mostra-se algebricamente (� o problema 88) que vale SOMA(k>=0) Binom(m,k)*Binom(n,k) 2^k (m,n>=0).
O prof. Doron me mandou a recorr�ncia satisfeita pela soma S_n(m):
(n+2)S_{n+2}(m) - (2m+1)S_{n+1}(m) - (n+1)S_n(m)=0.Logo, S_0(m)=1, S_1(m)=2m+1 e com a recorr�ncia, S_2(m)=2m^2+2m+1, S_3(m)=(2m+1)(2m^2+2m+3)/3 ...
[]'s Lu�s
From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [email protected] To: "obm-l" <[email protected]> Subject: Re: [obm-l] soma de termos Date: Wed, 6 Apr 2005 15:58:30 -0300
Oi, Lu�s:
A impress�o que eu tenho � que, depois do "Generatingfunctionology", todos estes problemas podem ser resolvidos pela aplica��o de algum algoritmo geral.
Mesmo, assim, acho que � um bom treino tentar achar demonstra��es combinat�rias pra recorr�ncias e identidades envolvendo n�meros binomiais.
Por exemplo, � poss�vel dar uma demonstra��o combinat�ria da identidade abaixo, que foi uma quest�o da famosa e dif�cil prova do IME de 1980/81.
SOMA(k=0...n) Binom(k,m)*Binom(n-k,m) = Binom(n+1,2m+1).
Agora, quero ver algu�m provar isso algebricamente...
[]s, Claudio.
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