On Tue, Apr 05, 2005 at 02:02:34PM -0300, claudio.buffara wrote: > Ontem algu�m perguntou aqui na lista como se demonstrava a f�rmula da soma > dos quadrados dos primeiros n inteiros positivos.
Oi Claudio, achei bem legal a sua demonstra��o. Na verdade este assunto j� foi discutido v�rias vezes nesta lista e pode valer a pena dar uma olhada nos arquivos. Seja f(n) = 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Podemos definir f tamb�m como a �nica fun��o de Z em Z que satisfaz f(0) = 0, f(n) = f(n-1) + n^2. � f�cil ver que f � um polin�mio de grau 3. De fato, considere a seguinte transforma��o linear: T(a,b,c) = (d,e,f) se, sendo g(n) = an^3 + bn^2 + cn, tivermos g(n) - g(n-1) = dn^2 + en + f. A transforma��o linear T � bem definida pois os termos de grau 3 se cancelam; T tamb�m � injetora, pois g(n) - g(n-1) = 0 para todo n implica que g � constante logo, como n�o h� termos constante em g, temos g = 0. Assim T � invers�vel. Note que o mesmo racioc�nio demonstra que se h � um polin�mio de grau k e se g satisfaz g(n) = g(n-1) + h(n) ent�o g � polin�mio de grau k+1. Agora escrevendo f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 5, f(3) = 14 temos um sisteminha 3x3: a + b + c = 1 8a + 4b + 2c = 5 27a + 9b + 3c = 14 e podemos facilmente achar a, b e c. Mas acho mais elegante neste caso ver quais s�o as ra�zes de f. Claramente temos f(0) = f(-1) = 0. Note que f(-2) = - (-1)^2 = -f(1), f(-3) = - (-1)^2 - (-2)^2 = -f(2), ..., f(-1-n) = - (-1)^2 - (-2)^2 - ... - (-n)^2 = -f(n). Temos assim f(-1-n) = -f(n) donde f(-1/2) = 0, a terceira raiz. Assim f(n) = cn(n+1)(2n+1). Uma substitui��o obteria o valor de c, mas prefiro fazer f(n) ~= int_0^n t^2 dt = 1/3 n^3 donde c = 1/6. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
