Oi Cl�udio e amigos da lista.
Sem querer ser chato, mas sendo um pouco, h� cuidados
a serem tomados ao usar Pell.
A equa��o de Pell generalizada x^2 - by^2 = c
normalmente � "resolvida" da seguinte maneira:
Antes de mais nada, vamos s� pensar em solu��es
inteiras positivas.
Primeiro, se c n�o � igual a 1, procura-se uma solu��o
minimal (x_0,y_0) da equa��o dada, no sentido que x_0
+ y_0\sqrt{b} � m�nimo.
Depois, resolve-se a equa��o de Pell x^2 - by^2 = 1,
obtendo as infinitas solu��es (x_k,y_k), k>=1.
Geralmente, encontra-se (usando fra��o cont�nua, por
exemplo) uma solu��o minimal (x_1,y_1) e as outras s�o
obtidas da recorr�ncia (x_1+y_1\sqrt{b})^n = x_n +
y_n\sqrt{b}, x_n, y_n inteiros.
A� os pares (x,y) obtidos de
(x_0+y_0\sqrt{b})(x_n+y_n\sqrt{b}) = x + y\sqrt{b}
s�o solu��es da equa��o original.
O problema � que quando c n�o � 1, esse procedimento
infelizmente *n�o* gera todas as ra�zes. Quando c=1,
a� sim temos todas as ra�zes.
Um exemplo � a equa��o x^2 - 10y^2 = 9. Ela admite
*tr�s* solu��es primitivas distintas: (7,2), (13,4) e
(57,18). A solu��o minimal de x^2 - 10y^2 = 1 �
(19,6), maior que ambos (7,2) e (13,4). Assim, (13,4)
n�o poderia ser gerada por (7,2).
Para achar todas as solu��es, temos que achar *todas*
as solu��es primitivas (x_0;y_0) da equa��o original.
Veja mais em
http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html
Mais tarde eu vou pensar nessa equa��o diofantina.
[]'s
Shine
--- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
wrote:
> Oi, Lu�s:
>
> Mediante uma mudan�a de vari�veis essa equa��o se
> reduz a uma equa��o de Pell. A id�ia � completar os
> quadrados em cada membro e multiplicar a equa��o
> resultante por uma constante apropriada a fim de
> obter algo da forma y^2 - ax^2 = b, onde a e b s�o
> inteiros e a � positivo e livre de quadrados.
>
> []s,
> Claudio.
>
> De:[EMAIL PROTECTED]
>
> Para:[email protected]
>
> C�pia:
>
> Data:Mon, 28 Mar 2005 20:30:52 +0000
>
> Assunto:[obm-l] equacao diofantina
>
> > Sauda,c~oes,
> >
> > O problema abaixo foi proposto numa lista.
> >
> > []'s
> > Luis
> >
> > Does anybody can give a (perhaps partial)
> recursive solution to
> > the Diophantine equation (5a+1)a = (3b+7)b
> > a1 = 3, b1 = 3, a2 = 31, b2 = 39
> >
> > Best regards
> > Nikolaos Dergiades
> >
> >
> >
>
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> > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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