>Seja "a" um n�mero pertencente ao conjuntos dos >n�meros reais tal que a > 1 e a "raiz n-�sima de a" >seja um n�mero primo. >Pede-se determinar o menor valor de "n" para que a >express�o: >(a^n + b) / (a^n - b) > >seja tamb�m um n�mero primo, sabendo-se que "b" � um >quadrado perfeito.
Assumindo n inteiro, n > 1 (para que fique razo�vel a express�o raiz n-�sima e o pr�prio problema, do contr�rio a seria primo, e uma solu��o para n = 1 seria a = 3, b = 1), o que temos � a^(1/n) = p, primo ==> a = p^n, portanto a � inteiro. Fa�a b = d^2 e seja k primo. (p^n^n + d^2)/(p^n^n - d^2) = k Fazendo k = 2, temos p^n^n + d^2 = 2*p^n^n - 2*d^2 ==> p^n^n = 3*d^2 ==> p = 3 ==> d = 3^x As igualdades agora s�o 3^n^n = 3^(2*x + 1) ==> n^n = 2*x + 1 ==> n � �mpar Tomamos n = 3 ==> x = 13. Assim, o n pretendido � menor ou igual a 3, e, com efeito, ele n�o pode ser 2. Se n = 2, ter�amos (p^4 + d^2)/(p^4 - d^2) = k ==> p^4*(k - 1) = (k + 1)*d^2 Se k = 2, ent�o ter�amos p^4 = 3*d^2 ==> p = 3 ==> 3^3 = d^2, absurdo. Assim, k > 2, primo ==> k �mpar ==> mdc (k + 1, k - 1) = 2. Segue que (k + 1)/2 divide p^4 ==> (k + 1)/2 = p^x, onde x = 1, 2, 3 ou 4 (n�o � x = 0 pois ter�amos k = 1, absurdo pois k � primo) Ainda, n�o pode ser x = 1 nem x = 3 pois isso implica que p^3 ou p seria quadrado perfeito ( p^3*(k - 1)/2 = d^2, com p n�o dividindo (k - 1)/2; analogamente para p em vez de p^3). Ent�o � k + 1 = 2*p^4 ou 2*p^2. Se ocorre o primeiro, ent�o cancelando vem que d^2 = (k - 1)/2, ou seja, k = 2*d^2 + 1 ==> 2*p^4 + 1 = k = 2*d^2 - 1 ==> p^4 = d^2 - 1, isto �, d^2 e d^2 - 1 s�o quadrados perfeitos, absurdo pois s�o inteiros consecutivos. Se por outro lado fosse k = 2*p^2 - 1, ent�o substituindo d� p^4*(2*p^2 - 2) = 2*p^2*d^2 ==> p^2(p^2 - 1) = d^2 ==> d = p*z ==> p^2 - 1 = z^2, isto �, p^2 e p^2 - 1 s�o quadrados perfeitos, absurdo pois s�o consecutivos. Logo, n = 2 n�o pode e o menor n poss�vel � 3. []s, Daniel ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
