On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: > O problema a seguir eh trivial? > > Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. > (I = matriz identidade) > > Problema adicional: > Se A for mxn, B nxm com m < n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos > dizer sobre BA?
Come�ando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA donde BA � uma proje��o de posto m, ou seja, uma proje��o de R^n sobre um subespa�o de dimens�o m. Quanto ao primeiro, eu diria que ele *n�o* � trivial. Encarando A e B como transforma��es lineares, � bem claro que A � sobre e B � injetora. O que fica faltando � provar o seguinte lema: Seja T uma transforma��o linear de um espa�o vetorial de dimens�o finita V nele mesmo. Ent�o as seguintes condi��es s�o equivalentes: (a) T � injetora; (b) T � sobrejetora; (c) T � invers�vel. Este � uma esp�cie de vers�o linear do princ�pio das casas de pombos e requer demonstra��o. A demonstra��o pode ser encontrada em qualquer livro de �lgebra linear, claro, mas n�o � de todo trivial. Note que todas as seguintes hip�teses s�o necess�rias: Dimens�o finita: o lema � falso em espa�os vetoriais de dimens�o infinita. Espa�o vetorial: o lema � falso para m�dulos sobre quase qualquer anel. A necessidade destas duas hip�teses torna a meu ver o princ�pio das casas de pombos lineares algo n�o trivial. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
