Acho que dei tempo suficiente para quem quisesse pensar sozinho. Segue abaixo a soluc�o completa para o problema original dos chap�us. Primeiro o enunciado:
> > On Thu, Feb 03, 2005 at 03:04:22AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > There are 3 persons (let's call them A,B and C) in a room. Each of them > > > wears a hat with a positive integer number marked on the hat. Each of the > > > three persons can see the number on the two other hats, but cannot see > > > the number on his/her own hat. > > > > > > We tell them that one of the number is the sum of the two other numbers > > > but they don't know which one is the sum of the two others. > > > > > > We ask A: Do you know what is your number? > > > A looks at B and C, thinks and answers: I don't know. > > > > > > Note here that the three persons are very intelligent and if they say > > > that they don't know, it is because there are no possibility for them to > > > deduce their number. > > > > > > We then ask B: Do you know what is your number? > > > B looks at A and C, thinks and answers: I don't know. > > > > > > We then ask C: Do you know what is your number? > > > C looks at A and B, thinks and answers: Idon't know. > > > > > > A thinks a little and say suddenly: > > > Wait a minute! Now I know my number! I have 50. > > > > > > What numbers have B and C respectively? > > Os n�meros s�o 50, 20, 30. > Obrigado ! Bem interessante ! Fiquei agora curioso em saber o porqu� da > solu��o 20, 30, 50 ser �nica ?! Podemos supor que os tr�s n�meros s�o 2u, |s+1|u, |s-1|u, onde s e u s�o racionais, u > 0. O valor de u n�o � muito importante, o importante aqui � s. Observe que os casos em que o maior n�mero � A, B, C correspondem respectivamente a -1<s<1, s>1 e s<-1. No in�cio do jogo, ningu�m sabe o valor correto de s, s� que s � diferente de 1 e -1. O jogador A fica em d�vida entre s (o valor correto) e 1/s, B fica em d�vida entre s e 2-s e C fica em d�vida entre s e -2-s. Se s = 0 (ou seja, se os n�meros forem 2u, u, u) ent�o A descobre seu n�mero na primeira jogada. Assim, depois de A passar a vez na primeira jogada fica sendo conhecimento comum entre A, B, C que s � diferente de 0. Na segunda jogada, B descobre seu n�mero se e somente se 2-s j� tiver sido eliminado, ou seja, para s = 2 (2u,3u,u; A teria falado se fosse 2u,u,u) e para s = 3 (2u,4u,2u). Assim na segunda jogada s�o eliminados 2 e 3. Na terceira jogada C descobre seu n�mero se e somente se -2-s j� tiver sido eliminado, ou seja, para s = -2, -3, -4 e -5. Na quarta jogada A descobre seu n�mero se e somente se 1/s tiver sido eliminado na segunda ou terceira rodada (se tivesse sido eliminado antes, ele (A) teria falado antes). Ou seja, A responde na quarta jogada se e somente se s tem um dos seguintes valores: 1/2, 1/3, -1/2, -1/3, -1/4, -1/5. Estes correspondem respectivamente a (4,3,1), (3,2,1), (4,1,3), (3,1,2), (8,3,5), (5,2,3). Como 50 n�o � m�ltiplo de 4, 3 ou 8, a �nica possibilidade � a �ltima. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
