Acho meio bobo escrever "urgente" no subject, fica parecendo spam.
Acho tamb�m que voc� deveria fazer com que o seu e-mail aparecesse
com o seu nome, e n�o como "List OBM", mas vamos aos problemas.
On Wed, Feb 02, 2005 at 10:46:30AM -0300, Lista OBM wrote:
> gostaria de uma ajuda nos problema abaixo:
>
> 1) Podemos dizer que AB e BA t�m o mesmo polin�mio minimal para todas
> matrizes A e B pertencentes a M_n(K)? E quando uma delas � n�o-singular?
As respostas s�o n�o e sim, respectivamente.
Para o primeiro, tome A = [[0,1,0],[0,0,0],[0,0,0]],
B = [[0,0,0],[0,0,1],[0,0,0]]. Fazendo as contas,
vemos BA = 0 tem polin�mio m�nimo x e AB tem polin�mio
m�nimo x^2.
Para o segundo, suponha sem perda A invers�vel.
Escreva BA = A^(-1) (AB) A: assim AB e BA s�o conjugadas
e o resultado segue.
> 2) Seja A: V --> V uma transforma��o linear, onde V � um K-espa�o vet. de
> dim. finita. Para todo v em V, considere o seguinte conjunto:
>
> W(v) = {g(A)(v) ; g pertence a K[X]}.
>
> Consegui verificar as seguintes afirma��es: a) W(v) � um subspa�o
> A-invariante;
>
> b) Se f(X,v) � o polin�mio minimal da restri��o de A a W(v), ent�o, para cada
> v em V, f(X,v) divide m(X), onde m(X) � o polin�mio minimal de A;
>
> c) Se um polin�mio h(X) pertencente a K[X] � divis�vel por f(X,v) para todo v
> em V, ent�o h(X) � divis�vel por m(X).
>
> Por�m, naum consegui provar a afirma��o abaixo: d) Prove que existe um v em V
> tal que f(X,v) = m(X).
Uma matriz companheira � uma matriz A com primeira coluna e_2,
segunda coluna e_3, ..., (n-1)-�sima coluna e_n.
O teorema da forma racional diz que toda matriz M � conjugada
a uma matriz com blocos companheiros na diagonal
e zeros fora dos blocos. Podemos ainda tomar o primeiro
bloco com polin�mio caracter�stico = polin�mio m�nimo de M.
Agora basta tomar v = e_1.
> Obs.: Estava tentando provar que existe u em V tal que f(X,u) = p(X,u), onde
> p(X,u) � o polin�mio caracte�stico da restri��o de A ao respectivo W(u). Com
> isso a afirma��o acima ficaria verificada usando o item c) e outras
> propriedades de polin�mio minimal.
>
> 3) Sejam R e S transforma��es K-lineares sobre um esp. vetorial V de dim.
> finita. Se RS = SR e se m_R(X) e m_S(X) (pols. minimais de R e S, respec.)
> tem raizes simples em K, prove que existe um base B = {v_1, v_2, ..., v_n}
> tal que [R]_B e [S]_B s�o diagonais.
Dizer que m_R(X) tem ra�zes simples em K � o mesmo que dizer que R
� diagonaliz�vel em K. O mesmo vale para S. Como elas comutam elas
s�o simultaneamente diagonaliz�veis.
[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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