Eu pesquisei este assunto. A generalizacao que podemos fazer eh a seguinte: Se X eh um espaco de Haursdorff sigma-compacto, entao a colecao de seus conjuntos compactos gera a sigma-algebra de Borel. Um espaco topolologico eh sigma-compacto se for a uniao de uma colecao enumeravel de conjuntos compactos (o prefixo "sigma", de modo geral, significa que um conjunto eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos que satisfacam a uma dada cracteristica; o prefexo delta, para interseccoes enumeraveis.) Isto implica automaticamente que todo subconjunto fechado de X seja sigma-compacto.
Espacos metricos separaveis e localmente compactos sao, conforme vimos, sigma-compactos. E como todo espaco metrico e Haursdorff , a proposicao vale em tais espacos. Mas a afirmacao geral que foi copiada de um site por um colega parece estar incorreta. Lah apenas dizia que a proposicao se aplicava a espacos topologicos (nao dizia metricos) separaveis e localmente compactos. Em espacos nao metricos, ainda que de Hausdorff, separabilidade nao implica a existencia de uma base topologica enumeravel. Assim, parece-me que, em espacos nao metricos, separabilidade e compacticidade local nao implicam sigma-compacticidade. Uma consequencia imediata eh que na reta real, nos R^n e nos complexos, a sigma-algebra gerada pelos compactos eh a sigma-algebra de Borel. Eu nao sabia disso. Parabens ao colega que levantou o assunto e aumentou o nivel geral de conhecimento. Abracos Artur. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
