N� 5
Seja abc o n� procurado de 3 algarismos (100a+10b+c)^3 = 10^6a^3+3*10^4*a^2*(10b+c)+3*100a(10b+c)^2+(10b+c)^3 desenvolvendo um pouco mais percebe-se que os �nicos que n�o deixam resto 0 quando divididos por 1000 s�o:
300ac^2, 300b^2c, 30bc^2, c^3 como independente do n� o algarismo das unidades deve ser 2, temos que c=2 e assim...
1200a+600b^2+120b+8=888 (mod 1000) ,ou ainda,
120a+60b^2+12b=88 (mod100) logo b=4 ou b=9.
para b=4.
120a+960+48=88 (mod 100) e os poss�veis candidatos
100|120a+960+48-88 seriam 442,942.
100|120a+960+48-88 seriam 442,942.
100|120a+920
10|12a+92 assim a=4 ou a=9
para b=9.
120a+60*81+108=88 (mod 100) e o outro n� ser� 192
100|120a+4860+108-88 que � o menor inteiro.
100|120a+4880
10|12a+488 o menor a ser� a=1
logo a soma dos seus algarismos � 12. LETRA B
Abra�os Saulo.
Ass:Vieira
Ol� amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas.
> > > > Se algu�m puder ajudar, agrade�o.
> > > >
> > > > 1) Um grupo de 10 atletas � dividido em duas equipes , de 5 atletas
> > > > cada, para disputarem uma corrida r�stica. O atleta que terminar a
> > > > corrida na n-�sima posi��o contribui com n pontos para a sua equipe.
>A
> > > > equipe que tiver o menos n�mero de pontos � a vencedora. Se n�o
> > > > existem empates entre os atletas , quantos s�o os poss�veis escores
> > > > vencedores ?
> > > >
> > > > a)10 b)13 c)27 d)120 e)126
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5
> > > > algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos
> &g! t; > > de c s�o distintos e que ab = c. Al�m disso, a adi��o de uma unidade
>a
> > > > cada algarismo de a,b e c n�o altera a veracidade da equa��o.
> > > > O valor da soma a + b + c � ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 3) A cada um dos v�rtices de um cubo, � atribu�do um dos n�meros
>+1
> > > > ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro
> > > > resultante do produto dos quatro inteiros que est�o nos v�rtices
> > > > desta face. Um valor poss�vel para a soma destes 14 n�meros � :
> > > >
> > > > a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 4) Quinze elefantes alinhados s�o tais que os seus pesos s�o
>expressos
> > > > por n�meros inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada
> > > > elefante ( exceto o �ltimo ) com o dobro do peso do elefante � sua
> > > > direita, � exatamente 15 toneladas podemos afirmar que:
> > > >
> > > > a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante � sua direita
> > > > b) existe um elefante que pesa 3 toneladas
> > > > c) existe um elefante que pesa 4 toneladas
> > > > d) existe um elefante que pesa 6 toneladas
> > > > e) todos os elefantes t�m o mesmo peso
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina
>em
> > > 888 � :
> > > >
> > > > a)10 b)12 c)14 d)16 e)18
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 6) Se xyz=1 ent�o 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz � igual a ?
>! ; > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n � um quadrado perfeito ent�o o valor de "n"
>:
> > > >
> > > > a)primo b)divisor de 6 c)m�ltiplo de 3 d)m�ltiplo de 5 e)�mpar
> > > >
> > > > OBS : � poss�vel generalizar este problema ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2
>)
> > > > ent�o S � igual a :
> > > >
> > > > a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1
> > > > b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1
> > > > c) 1 - 2^-1/32
> > > > d) 1/2*(1 - 2^-1/32 )
> > > > e) 1/2
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 9) Demonstre que o produto de quatro n�meros consecutivos somado a
>uma
> > > > unidade � um quadrado perfeito. " (n*n+1*n+2*n+3) + 1 "
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 10) (x+y)^7 - x^7 -y^7 quando fatorada completamente em polin�mios e
> > > > mon�mios com coeficientes inteiros possui um n�mero de fatores igual
> > > > a:
> > > >
> > > > a) 7 b)6 c)5 d)4 e)3
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 11) Se 10^k � a maior pot�ncia de 10 que � um fator de 11^10 -1 ,
>ent�o k
> > > vale ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 12) Se a,b,c s�o n�meros reais tais que (bc - a^2)^-1 + (ca -b^2)^-1
>+
> > > > (ab - c^2)^-1 = 0 ent�o a(bc - a^2)^-2 + b(ca -b^2)^-2 + c(ab -
> > > > c^2)^-2 vale ?
> > > >
> &g! t; > > *******
> > > >
> > > > 13) Se F_n = [(1 + 5^1/2)/2]^n + [(1 - 5^1/2)/2]^n para todos os
> > > > inteiros n >= 0, ent�o, para todos os n>= 1, F_n+1 � igual a:
> > > >
> > > > a) F_n + F_n-1
> > > > b) F_n + 2*F_n-1
> > > > c) F_n + 3*F_n-1
> > > > d) F_n + 5^1/2*F_n-1
> > > > e) F_n + 5*F_n-1
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 14) Um fator entre 1000 e 5000 do n�mero 2^33 - 2^19 - 2^17 - 1 � :
> > > >
> > > > a) 1993 b) 1992 c) 1983 d) 1982 e) 1972
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 15) O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n � :
> > > >
> > > > a) 1/n+1
> > > > b) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n
> > > > c) ! 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n
> > > > d) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n+1
> > > > e) 1/2n
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 16) Sendo x + x^-1 =a, ao escrevermos x^13 + x^-13 como um polin�mio
> > > > em "a" verificamos que a soma dos coeficientes deste polin�mio vale
>?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 17) Se A = (19 + 3*33^1/2)^1/3 + (19 - 3*33^1/2)^1/3 + 1 e B = (17 +
> > > > 3*33^1/2)^1/3 + (17 + 3*33^1/2)^1/3 -1 , ent�o o produto AB vale ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 18) Se R_n = 1/2*(a^n + b^n) onde a=3+2*2^1/12 , b = 3-2*2^1/2 e n
>=
> > > > 0,1,2,3,... . Se R_12345 � inteiro, seu algarismo das unidades � ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> >! > > 19) O n�mero [(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4
>+
> > > > 324)]/[(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)]
> > > > vale ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > Desculpem-me pela imensa mensagem,
> > > > Agrade�o desde j� a todos ,
> > > > Muito obrigado,
> > > > Victor.
> > > >
> > > >
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> > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> > > >
> > > > 1) Um grupo de 10 atletas � dividido em duas equipes , de 5 atletas
> > > > cada, para disputarem uma corrida r�stica. O atleta que terminar a
> > > > corrida na n-�sima posi��o contribui com n pontos para a sua equipe.
>A
> > > > equipe que tiver o menos n�mero de pontos � a vencedora. Se n�o
> > > > existem empates entre os atletas , quantos s�o os poss�veis escores
> > > > vencedores ?
> > > >
> > > > a)10 b)13 c)27 d)120 e)126
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5
> > > > algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos
> &g! t; > > de c s�o distintos e que ab = c. Al�m disso, a adi��o de uma unidade
>a
> > > > cada algarismo de a,b e c n�o altera a veracidade da equa��o.
> > > > O valor da soma a + b + c � ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 3) A cada um dos v�rtices de um cubo, � atribu�do um dos n�meros
>+1
> > > > ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro
> > > > resultante do produto dos quatro inteiros que est�o nos v�rtices
> > > > desta face. Um valor poss�vel para a soma destes 14 n�meros � :
> > > >
> > > > a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 4) Quinze elefantes alinhados s�o tais que os seus pesos s�o
>expressos
> > > > por n�meros inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada
> > > > elefante ( exceto o �ltimo ) com o dobro do peso do elefante � sua
> > > > direita, � exatamente 15 toneladas podemos afirmar que:
> > > >
> > > > a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante � sua direita
> > > > b) existe um elefante que pesa 3 toneladas
> > > > c) existe um elefante que pesa 4 toneladas
> > > > d) existe um elefante que pesa 6 toneladas
> > > > e) todos os elefantes t�m o mesmo peso
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina
>em
> > > 888 � :
> > > >
> > > > a)10 b)12 c)14 d)16 e)18
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 6) Se xyz=1 ent�o 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz � igual a ?
>! ; > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n � um quadrado perfeito ent�o o valor de "n"
>:
> > > >
> > > > a)primo b)divisor de 6 c)m�ltiplo de 3 d)m�ltiplo de 5 e)�mpar
> > > >
> > > > OBS : � poss�vel generalizar este problema ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2
>)
> > > > ent�o S � igual a :
> > > >
> > > > a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1
> > > > b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1
> > > > c) 1 - 2^-1/32
> > > > d) 1/2*(1 - 2^-1/32 )
> > > > e) 1/2
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 9) Demonstre que o produto de quatro n�meros consecutivos somado a
>uma
> > > > unidade � um quadrado perfeito. " (n*n+1*n+2*n+3) + 1 "
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 10) (x+y)^7 - x^7 -y^7 quando fatorada completamente em polin�mios e
> > > > mon�mios com coeficientes inteiros possui um n�mero de fatores igual
> > > > a:
> > > >
> > > > a) 7 b)6 c)5 d)4 e)3
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 11) Se 10^k � a maior pot�ncia de 10 que � um fator de 11^10 -1 ,
>ent�o k
> > > vale ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 12) Se a,b,c s�o n�meros reais tais que (bc - a^2)^-1 + (ca -b^2)^-1
>+
> > > > (ab - c^2)^-1 = 0 ent�o a(bc - a^2)^-2 + b(ca -b^2)^-2 + c(ab -
> > > > c^2)^-2 vale ?
> > > >
> &g! t; > > *******
> > > >
> > > > 13) Se F_n = [(1 + 5^1/2)/2]^n + [(1 - 5^1/2)/2]^n para todos os
> > > > inteiros n >= 0, ent�o, para todos os n>= 1, F_n+1 � igual a:
> > > >
> > > > a) F_n + F_n-1
> > > > b) F_n + 2*F_n-1
> > > > c) F_n + 3*F_n-1
> > > > d) F_n + 5^1/2*F_n-1
> > > > e) F_n + 5*F_n-1
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 14) Um fator entre 1000 e 5000 do n�mero 2^33 - 2^19 - 2^17 - 1 � :
> > > >
> > > > a) 1993 b) 1992 c) 1983 d) 1982 e) 1972
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 15) O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n � :
> > > >
> > > > a) 1/n+1
> > > > b) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n
> > > > c) ! 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n
> > > > d) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n+1
> > > > e) 1/2n
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> > > > *******
> > > >
> > > > 16) Sendo x + x^-1 =a, ao escrevermos x^13 + x^-13 como um polin�mio
> > > > em "a" verificamos que a soma dos coeficientes deste polin�mio vale
>?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 17) Se A = (19 + 3*33^1/2)^1/3 + (19 - 3*33^1/2)^1/3 + 1 e B = (17 +
> > > > 3*33^1/2)^1/3 + (17 + 3*33^1/2)^1/3 -1 , ent�o o produto AB vale ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > 18) Se R_n = 1/2*(a^n + b^n) onde a=3+2*2^1/12 , b = 3-2*2^1/2 e n
>=
> > > > 0,1,2,3,... . Se R_12345 � inteiro, seu algarismo das unidades � ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> >! > > 19) O n�mero [(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4
>+
> > > > 324)]/[(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)]
> > > > vale ?
> > > >
> > > > *******
> > > >
> > > > Desculpem-me pela imensa mensagem,
> > > > Agrade�o desde j� a todos ,
> > > > Muito obrigado,
> > > > Victor.
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