>Um probleminha para come�ar o ano: > >Considere todos os n�meros naturais cuja representa��o decimal n�o possua >nenhum d�gito 9. Prove que a soma dos inversos desses n�meros converge.
Seja a_n o inverso do n-gesimo inteiro postivo em cuja representacao decimal nao hah 9. Temos entao que as somas parciais de Soma(a_n))formam uma sequencia montonicamente crescente. Assim, se atraves da introducao de parenteses em Soma(a_n) obtivermos uma serie Soma(b_m) que seja convergente, a serie original convergirah para o mesmo limite. Agrupemos em parenteses os termos correspondentes aos numeros inteiros positivos de k>=1 algarismos em cuja representacao decimal nao aparece o 9. Seja S_k eh a soma dos inversos destes numeros. Se p eh um destes numeros, entao p dah origem a 9 numeros de k+1 algarismos conforme o desejado, ou seja, p origina, em ordem crescente, 10p+0, 10p+1, ...10p+8. Logo, a soma dos inversos dos numeros originados por p eh < 9*(10*p + 0) = (9/10)*p, o que implica automaticamente que S_(k+1) < (9/10)*S_k. Eh entao facil concluir por inducao que, se b_m eh soma dos termos do m_gesimo parentesis, entao 0 < b_m <= (9/10)^(m-1)*S_1, com igualdade apenas para m=1. Como Soma((9/10)^(m-1)*S_1) converge, pois eh uma serie geometrica de razao 9/10 <1, concluimos por comparacao que Soma(b_m) converge. E esta convergindo, Soma(a_n) converge para o mesmo limite. O mesmo argumento aplica-se a qualquer inteiro 1,2...9. Para o zero precisamos modificar um pouco o argumento. Artur ________________________________________________ OPEN Internet e Inform�tica @ Primeiro provedor do DF com anti-v�rus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
