Utilizando um argumento similar ao que o Fabio apresentou, podemos generalizar esta questao. Sejam a, b , c numeros positivos com a < c, b < c e c >1. Entao, a equacao a^x + b^x = c^x tem uma unica raiz r, a qual eh positiva. Para ver isto, definamos f por f(x) = a^x + b^x- c^x, para x em R. Entao f eh continua e f(0) = 1. Para todo real x, temos que f(x) = c^x*[(a/c)^x + (b/c)^x -1], sendo que 0 < a/c <1 e 0 < b/c < 1. Logo, quando x -> oo as exponenciais do colchete tendem a zero, de modo que a expressao dentro do colchete tende a -1. Como c > 1, c^x vai para infinito com x, de modo que f(x) -> -oo quando x -> oo. Considerando que f eh continua em R e que f(0) =1 >0, concluimos que f tem uma raiz r > 0. para vermos que r eh unica, generalizamos o argumento do Fabio. Se x = r + h, h em R, temos que f(x) = (a^r)*(a^h) + (b^r)*(b^h) - c^r*c^h. Como c^r = a^r + b^r, uma transformacao simples nos leva a que f(x) = (a^r)*[a^h - c^h] + (b^r)*[a^h - c^h]. Considerando que 0 < a < c e 0 < b < c, para h>0, temos que ambos os colchetes tornam-se negativos, de modo que f(x) <0. E, se h<0, os colchetes sao postivos e f(x) >0. Assi, f anula-se sse h = 0, ou seja, se x =r. Artur
--------- Mensagem Original -------- De: [email protected] Para: "[email protected]" <[email protected]> Assunto: Re: [obm-l] Quest�o simples Data: 24/12/04 01:15 Bruno, a sua resposta: N�o sei se isso � v�lido, mas foi o que eu pensei: 3^x + 4^x = 5^x ==> 1 + (4/3)^x = (5/3)^x Sejam f(x) = 1 + (4/3)^x e g(x) = (5/3)^x Temos que (5/3)^x cresce mais rapidamente que (4/3)^x. Logo, ap�s o primeiro ponto de encontro n�o haver� mais nenhum, pois (5/3)^x ser� sempre maior que 1 + (4/3)^x. O mesmo argumento vale para mostrar que n�o haver� ponto de encontro anterior ao que vc encontrou. At� mais! Bruno � v�lida mas n�o � precisa, pois usa gr�fico e usando gr�fico vc s� nota o ponto de encontro mas como provar que o ponto realmente � 2, visivelmente d� para notar que � 2 mas fica melhor uma resposta sem usar gr�fico, uma resposta aritim�tica ou alg�brica. Igor C. O. Obrigado. ___________________________________________________________________________________ Nas liga��es internacionais, do fixo ou do celular, a Embratel � sempre a sua melhor op��o www.embratel.com.br ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ________________________________________________ OPEN Internet e Inform�tica @ Primeiro provedor do DF com anti-v�rus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
