Oi, Ana. A sa�da � pela expans�o de Taylor sim, mas � para a derivada. Ou seja, fa�a 1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ... Esta s�rie converge (absolutamente) em (-1, 1), pois � limitada pela soma da P.G. em 1/(1 - |x|). Al�m disso, podemos integrar termo a termo a s�rie em QUALQUER intervalo do tipo [-r, r] com r<1, pois neste intervalo a converg�ncia � uniforme (limitada por 1/(1-r) ).
A s�rie converge, portanto, para Ln(1+r), para todo -1 < r < 1. Como a s�rie integrada converge no ponto x=1 (voc� mesmo provou: alternada e decrescente em m�dulo), e ela � uma s�rie de pot�ncias, podemos garantir que a s�rie converge no limite r-> 1 tamb�m (este passo � um pouco mais dif�cil do que parece: tente provar, vale a pena!. Integre at� 1-eps e fa�a eps->0, veja que voc� pode fazer isso e obtenha o resultado), e portanto est� provado. Qualquer d�vidas, fale. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Tue, 21 Dec 2004 05:14:11 -0800 (PST), Ana Evans <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Oi pessoal > Eu estou tentando provar que a serie alternada > Soma((-1)^(n+1))/n = 1 -1/2 +1/3....converge para > Ln(2). sabemos que esta serie efetivamente converge > porque eh alternada e 1/n -> 0. Eu tentei me basear no > fato de que, para |x| <1, podemos expandir Ln(1+x) em > series de Taylor em torno de 0, de modo que Ln(1+x) = > x - x^2/2 + x^3/3....Mas, sabemos que o raio de > convergencia desta serie de potencias eh 1, de modo > que converge garantidamente apenas em (-1, 1), e nao > podemos extender a conclusao para x=1, o que nos > levaria ao desejado. Eu ai tentei extender o dominio > da funcao limite da serie de potencias, incluindo > tambem x=1, mas como a convergencia nao eh > necessariamente uniforme em [0,1], eu nao cheguei la. > Talvez seja melhor tentar outra saida sem ser pela > expansao de Taylor. > Obrigada > Ana > > __________________________________________________ > Do You Yahoo!? > Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around > http://mail.yahoo.com > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
