--------- Mensagem Original -------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] integral Data: 15/12/04 20:32
1- Se f eh r-integravel entao f^2 tambem eh (justifique) Ha um teorema (tem em qualquer livro de calculo, baseado em particoes, e somas de Riemann) que diz que, se f eh Riemann integravel em [a,b] e g eh continua em f([a,b]), entao gof eh integravel em [a,b]. Se fizermos g(t) = t^2, concluimos que f^2 eh integravel [a,b]. Outra forma de ver isto quando se tem um poquinhoquinho mais de conhecimento eh usar o criterio de Lebesgue para a integrabilidade de Riemann. Lebesgue provou que f eh Riemann integravel em [a,b] se, e somente se, neste intervalo, f for limitada e o conjunto de suas descontinuidades tiver medida (de Lebesgue) nula. Dizer que um subconjunto A de R tem medida nula - ou que A eh nulo - sigifica que, para todo eps>0, existe uma cobertura enumeravel de A por intervalos de comprimento l_n tal que Soma(i=1, oo) l_n < eps. Como subconjuntos de conjuntos nulos sao nulos e gof eh continua sempre que f for, a conclusao acima citada - tanto para f^2 como para gof, em geral - eh imediata. 2- Se f^2 eh r-integravel entao f tambem eh (justifique) Imposivel justificar, porque isto eh falso. Talvez alguem jah tenha dada o um contra-exemplo, mas, se ainda nao deram, pense numa funcao similar aa Dirichilet, descontinua e limitada em [a,b] mas tal que f^2 seja continua. Artur ________________________________________________ OPEN Internet e Inform�tica @ Primeiro provedor do DF com anti-v�rus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
