Claudio Buffara said:
> Este nao eh exatamente um problema olimpico (ultimamente poucos
> problemas que aparecem nesta lista sao...) mas, de qualquer forma, achei
> um bom exercicio de algebra linear.
>
> Determine, de forma pouco bracal, os autovalores da matriz abaixo (uma
> forma muito bracal seria calcular det(xI - A) e achar as raizes desse
> polinomio - podem acreditar: dah pra fazer de um jeito mais facil!):
>
>>
>> 0 0 1 0 0 0 1 0
>> 0 0 0 1 0 0 0 1
>> 2 0 3 0 2 0 3 0
>> 0 1 0 0 0 1 0 0
>> 0 0 1 0 0 0 1 0
>> 0 0 0 1 0 0 0 1
>> 2 0 3 0 2 0 3 0
>> 0 1 0 0 0 1 0 0
>>
Chame essa matriz de A e considere a matriz M formada pelo sub-bloco 4x4
no canto superior esquerdo. Se u = (v, w) � um vetor de R^8, autovetor de
A, com v e w em R^4, temos Au = (M(v+w), M(v+w)). Segue imediatamente que
v = w, e, portanto, Au = 2(Mv, Mv). Ent�o se k � o autovalor associado de
A, temos (kv, kv) = (2Mv, 2Mv), logo k/2 � autovalor de M. Mas M tem tr�s
autovalores 1, e como det M = 2, 2 tamb�m � autovalor de M.
Logo os autovalores de A, contando multiplicidade, s�o 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4
e 4.
Para mandar alguma coisa mais olimp�ca para a lista, seguem alguns
problemas em que eu estive pensando (s� sei resolver o 1):
1. Considere P, o conjunto das permuta��es de n elementos. Se escolhermos
ao acaso uma permuta��o p de P, qual o n�mero esperado de invers�es em p?
Suponha equiprobabilidade na escolha de p.
2. E se P for o conjunto das permuta��es *ca�ticas* de n elementos?
Pode-se afirmar pelo menos alguma coisa sobre o comportamento assint�tico
dessa m�dia?
3. Seja f: S = {2, 3, 4, 5, 6, ...} -> S a fun��o que leva um n�mero n no
seu n�mero de fatores primos. Por exemplo, f(6) = 2 e f(12) = f(8) = 3.
Quanto vale lim[n->inf] (f(2) + f(3) + ... + f(n))/(n-1)?
4. E se f associar n ao seu n�mero de fatores primos *distintos*? Por
exemplo, f(6) = 2 mas f(12) = 2 e f(8) = 1?
[]s,
--
F�bio "ctg \pi" Dias Moreira
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
