Po, Domingos! Eu falei solucao esperta!!! :-) De qualquer forma, eu fiz algo parecido...
A eh simetrica real ==> A eh diagonalizavel A tem posto 2 ==> A tem apenas dois autovalores nao nulos, ambos reais. Logo, det(A - xI) = -x^2003*(x - k)*(x - h) Falta achar k e h. Dai eh soh fazer x = -1. Dada a forma de A, nao eh tao do outro mundo procurar um autovetor da forma: v = (x,y,x,y,....,y,x)^t. Entao Av = (1002y,1003x,1002y,...,1003x,1002y)^t Av = kv ==> 1002y = kx e 1003x = ky ==> k = raiz(1002*1003) e h = -k ==> det(A - xI) = -x^2003*(x^2 - 1002*1003) ==> det(A + I) = 1*(1 - 1002*1003) = -1005005. *** Serah que nao tem um problema combinatorio envolvendo A ou A + I? []s, Claudio. on 14.12.04 18:38, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Claudio Buffara wrote: > >> Alguem tem uma solucao "esperta" pra esse aqui? >> >> A matriz A = (a_ij) 2005x2005 eh tal que a_ij = 0 se i+j eh par e a_ij = 1 >> se i+j eh impar. >> I_2005 eh a matriz identidade de ordem 2005. >> Calcule det(A + I_2005). >> >> []s, >> Claudio. >> > > talvez! > > Seja a o vetor com 2005 coordenadas da forma a = (0, 1, 0, 1, ..., 0) e > b tamb�m com 2005 coordenadas da forma b = (1, 0, 1, 0, ..., 1). > Note que a matriz A � formada pelas colunas a, b na seq��ncia [a b a b > ... a]. > > Sabemos que det(A - I) � o produto dos auto-valores de A + I. Mas se d � > auto-valor de A + I ent�o d - 1 � auto-valor de A, ent�o, se soubermos > todos os auto-valores de A ent�o sabemos cacular o determinante pedido. > > Observe que para qualquer vetor x, Ax � uma combina��o linear de a e b. > Suponha > Ax = d x, devem existir r e s tais que > x = r a + s b, ou seja, todo auto-vetor x � combina��o linear de a e b. > > Ademais, observe que > Aa = 1002 b e > Ab = 1003 a, logo se > A(r a + s b) = d(r a + s b) ent�o > d(r a + s b) = 1002r b + 1003s a > > Normalmente n�o podemos fazer o que vamos fazer, mas como a e b tem > coordenadas n�o-nulas complementares, temos > d*r = 1003s > d*s = 1002r. > Manipulando um pouco, obtemos 1002 r^2 = 1003 s^2, como 1002 e 1003 s�o > primos entre si s� pode haver as seguintes solu��es: > r = +/- raiz(1003) > s = +/- raiz(1002). > Temos que d pode ser raiz(1003*1002) ou -raiz(1003*1002). Esses s�o os > dois �nicos auto-valores n�o nulos de A. Pelo que constatamos logo no > come�o, os auto-valores de A + I s�o 1 + raiz(1003*1002), 1 - > raiz(1003*1002) e 1 com multiplicidade 2003. > > Agora � s� calcular o produto... Aqui eu vou generalizar o resultado e > falar de uma matriz de tamanho 2m + 1. Neste caso, o determinante � > [1 + raiz(m*(m+1))] [1 - raiz(m*(m+1))] = 1 - m*(m+1) = 1 - m - m^2. > > [ ]'s > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
