Mandaram esse pergunta em uma comunidade de duvidas do orkut:
"UFMG (Adaptada): Considere x, y e z n�meros naturais. Na diviz�o de x por y, obt�m-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representa��o decimal de x/y � a d�zima peri�dica 7,36363636... . Qual o valor de x + y + z.
A resposta � 191, mas estou com dificuldades de "fomalizar" a resposta (p�-la em formato discursivo, estilo 2a fase)."
Segue a minha resposta:
"Bom acho que � facil (se n�o for, me de um toque e eu explico isso com mais cuidado) inferir do enunciado que devemos resolver o sistema
{yz + 8 = x (I)
{99x = 729y (II)de modo que x,y,z seja inteiros.
Bom de II vem que x = 729y/x substituindo isso em I ficamos com
yz + 8 = (729y)/99 z = (729/99) - (8/y) (III)
Bom queremos solucoes inteiras e eu sei que 729/99 = 7,363636... Logo, para (III) ser inteiro, (8/y) deve ser alguma tralha que acabe com ,363636... Em particular(*) vamos impor que 8/y = 0,363636... logo 792/y = 36 y = 22
De I e II voce tira que x = 162 e z = 7."
A pergunta que fica � a seguinte... Sera que existe algum numero a, tal que impondo 8/y = a,363636... y continua inteiro, x = 729y/99 tb continua inteiro?
A unicidade da resposta desse problema esta em aberto pra mim...se alguem souber como provar (ou refutar) me avise!
Niski ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
