Oi,
O Livro do Elon "An�lise Real" apresenta um t�pico sobre M�todo de
Newton (eu acho que � na se��o de aplica��es da derivada) que explica
muito bem porqu� � quadr�tico, quais as hip�teses necess�rias, etc.
Vale a pena ver para ter uma orienta��o.
Abra�os,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Wed, 24 Nov 2004 00:00:15 -0200, Osvaldo Mello Sponquiado
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Ol� pessoal!
>
> Criei um m�todo num�rico (M�todo Mello) para o c�lculo de ra�zes de fun��es reais,
> com uma vari�vel real e gostaria de saber se existe algum professor de C�lculo
> Num�rico na lista, pois aqui na UNESP de Ilha Solteira existe um �nico professor
> deste ramo (que n�o se interessou pelo meu trabalho) e preciso de um orientador para
> poder apresentar o trabalho em congressos e me ajudar a fazer algumas analises (de
> convergencia por exemplo).
> Criei um m�todo num�rico para o c�lculo de ra�zes de fun��es reais, com uma vari�vel
> real.
>
> O resumo do m�todo � o seguinte:
>
> M�todo num�rico iterativo para determina��o de ra�zes reais de fun��es reais. O
> m�todo se baseia em tra�ar circunfer�ncias com centro em (x0,f(x0)) e raio f(x0),
> sendo x0 um valor inicial dado, e tomar uma das intersec��es da circunfer�ncia com a
> fun��o como sendo o valor x1, e assim iterativamente at� que xn, resultado da
> n-�sima itera��o, possa ser admitido como aproxima��o para o valor da raiz. O
> m�todo apresenta as caracter�sticas de exigir a escolha de um �nico valor inicial,
> de possuir converg�ncia garantida e de ter f�cil interpreta��o geom�trica, servindo
> tamb�m como ferramenta did�tica em cursos de C�lculo Num�rico
>
> Olhando geometricamente considera-se uma fun��o real f(x) cont�nua ao menos no
> intervalo [x,x_0], no qual x � a raiz de f e x_0 � um valor tal que x_0 >x.
> Define-se a circunfer�ncia C como a circunfer�ncia de centro (x_0,f(x_0)) e raio
> f(x_0) conforme ilustrado pela fig em anexo.
>
> Percebe-se que, sendo a fun��o cont�nua ao menos no intervalo entre a raiz e o ponto
> x_0, garante-se que a circunfer�ncia intercepta a fun��o em pelo menos um ponto, de
> abscissa x_1 e ordenada f(x_1).
>
> O m�todo apresentado consiste em tra�ar uma nova circunfer�ncia de centro
> (x_1,f(x_1)) e raio f(x_1), que interceptar� um novo ponto da fun��o, de abscissa
> x_2 e ordenada f(x_2), e assim iterativamente at� que se possa tomar xn, resultado
> da n-�sima itera��o, como sendo aproximadamente uma raiz da fun��o. Tendo definido a
> circunfer�ncia C, sua equa��o �:
> (x_0-x_1)^2+(f(x-0)-f(x_1))^2=[f(x_0)]^2 (i)
>
> Usando Aproxima��o de Taylor f(x)= S[n=0;+inf]f{n}(x_0).(x-x_0)^n/n! ({n} indica
> ordem n para a derivada de f)utilizo so as duas primeiras parcelas desta formula:
> f(x_1)=f(x_0)+f'(x_0).(x_1-x_0) (ii)
>
> Substituindo ii em i chego � equa��o geral dos x_k's do metodo: x_(k+1)=x_k + 'ou'
> - sqrt[(f(x_k))^2/(1+(f'(x_k))^2)] (iii)
>
> A partir dele consegui mostrar que a diferen�a entre os erros entre as itera��es k+1
> e k vale
> -[(eps-x_k).f'(x_k)+0,5.(eps-x_k)^2.f'(c_k)]/sqrt(1+(f'(x_k))^2); c_k pertence a
> (eps;x_k)
>
> Como pode ser percebido geometricamente, o m�todo nunca encontrar� a raiz da fun��o,
> j� que o valor xk s� seria igual a x se o raio da circunfer�ncia C fosse zero.
> Assim, por maior que seja o n�mero de itera��es, o valor obtido ser� sempre uma
> aproxima��o. Al�m disso, a equa��o geral do m�todo considera o valor negativo do
> (iii). Al�m de este fato garantir a converg�ncia da s�rie num�rica (x_0; x_1; x_2;
> ...), pode-se prever que | x_(k+1) | ser� sempre menor que | x_k |, o que exige a
> escolha de um valor inicial maior que a raiz. No entanto, se por algum motivo for
> necess�rio escolher x_0 menor que o poss�vel valor da raiz (por exemplo, se a
> continuidade da fun��o s� puder ser garantida para valores menores que a raiz),
> basta considerar o valor positivo do , na Equa��o 3.
>
> Fiz algumas analises comparativas com Newton-Raphson para testar o metodo, alem
> disso implementei - o em Python e depois plotei alguns graficos de (x_(k+1)-x_k) x
> n� d itera��es
> para uma fun��o fixa e sendo aplicado Newton-Raphson e meu m�todo.
>
> Mas a quest�o que quero levantar � como fazer uma an�lise de convergencia do m�todo ?
> como garantir que ele � ao menos linear ?
> H� alguma maneira de se calcular sua ordem de converg�ncia?
> Procurei varias bibliografias, mas nelas se mostra como foi feita para outros
> m�todos, e n�o para um metodo generico.
> Bom se alguem puder me ajudar, escrevendo, indicando um livro, ou algum professor, �
> bem vindo.
>
> Atenciosamente,
>
> Osvaldo Mello Sponquiado
> Engenharia El�trica, 2�ano
> UNESP - Ilha Solteira
>
> __________________________________________________________________________
> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
> AntiPop-up UOL - � gr�tis!
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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