Nicolau, gostaria de seus coment�rios (essa foi minha sol. na prova).
Seja f(x, y) uma fun��o com f(x, y) > 0 para todo x,y e tal que
Integral_{IR^2} f(x, y) dx dy = Z, 0 < Z < +oo, ou seja, o volume formado por f e o plano xy � Z.
Vamos calcular a integral (Lebesgue) Integral_{A} f(x, y) dx dy.Podemos aplicar a regra de Fubini nessa integral (pelo menos � o que eu li). Ou seja, se integrarmos primeiro na dire��o do eixo x e depois na do eixo y ou vice-versa, o resultado deve ser o mesmo.
Mas isso nos garante uma contradi��o, j� que se considerarmos um x qualquer fixado, a integral em todo y real deve dar zero j� que ele � um conjunto com medida nula (enumer�vel na sua modifica��o e finito no enunciado original), ou seja, a integral deve ser 0. Por outro lado, fixando y, temos apenas um conjunto de pontos com medida nula o qual n�o devemos considerar na integra��o, mas isso garante que essa integral � positiva (j� que f(x, y) > 0), mas ent�o, olhando por esse lado, a integral � estritamente positiva (de fato, seu valor � Z).
Acertei?
[ ]'s
Gostaria de convidar a lista a considerar a seguinte varia��o do problema 2 do n�vel U da prova de s�bado.
Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que: (i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} � enumer�vel; (ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) n�o pertence a A} � enumer�vel.
[]s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
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