Ola Daniel e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Aqui vai uma dica ( por favor, complete os detalhes ) : Z/9Z e abeliano, claramente, pois e ciclico. Por outro lado, Z/3Z X Z/3Z e abeliano, conforme se verifica facilmente. Eu afirmo que, a menos de isomorfismos, estes sao os unicos grupos de ordem nove ...
Realmente, pois se G e um grupo de ordem nove que e ciclico entao ele e isomorfo a Z/9Z. Logo, abeliano. Se G nao e ciclico, pelo TEOREMA DE LAGRANGE todo elemento de G diferente da unidade tem ordem 3. Seja g um elemento ( diferente da unidade ) de G. Entao, claramente, existe h em G - <g>.
Eu afirmo que :
1) G = <g,h> 2) hg = gh
Logo, G e abeliano.
Para provar 1) basta voce fazer combinacoes com "g" e "h" e usar razoes elementares. Para provar 2) mostre que qualquer suposicao sobre hg ( por exemplo : hg = (g^2)(h^2) ) conduz a absurdos.
Um Abraco Paulo Santa Rita 5,2058,160904
From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Grupo de ordem 9 � abeliano Date: Thu, 16 Sep 2004 15:37:54 +0000
Como provar que todo grupo G de ordem 9 � abeliano, sem usar Sylow nem
Cauchy (embora possa-se mostrar facilmente que existe elemento de ordem 3 em
G)?
[]s, Daniel
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