Suponha o contr�rio, i.e., para cada y pertencente a f([a,b]) existe exatemente dois pontos x e z em [a,b] tais que f(x) = f(z) = y. Como f � cont�nua, temos que f([a,b]) = [c,d], e existem x_0 e x_1 em [a,b] tais que f(x_0) <= f(x) <= f(x_1), para todo x em [a,b] (Teorema de Weierstrass). Pela propriedade de f, existe x�_1 em [a,b] t.q. f(x�_1) = f(x_1). Assim, existe delta > 0 t.q., nos intervalos [x_1 - delta, x_1), (x_1, x_1 + delta] e [x�_1 - delta, x�_1) [estamos supondo x�_1 <> a e x_1 diferente (<>) de a e b] a fun��o assume valores menores que f(x�_1) = f(x_1). Seja m o maior desses dos n�meros f(x_1 - delta), f(x_1 + delta) e f(x�_1 - delta). Observe que
f(x_1 - delta) <= m < f(x_1), f(x_1 + delta) <= m < f(x_1) e f(x�_1 - delta) <= m < f(x�_1).
Da�, pelo T.V.I., tem-se que existe M em [x_1 - delta, x_1), N em (x_1, x_1 + delta] e P em [x�_1 - delta, x�_1) t.q. f(M) = f(N) = f(P) = m, o que � um absurdo, pois existe 3 valores em [a,b] e n�o dois que em m.
Se x_1 = a, basta pegarmos os intervalos (a, a + delta], [x�_1 - delta, x�_1) e (x�_1, x�_1 + delta] e aplicarmos o racioc�nio anterior.
E se x_1 = b e x�_1 = a fazemos o racioc�nio an�logo ao primeiro no ponto x_0 em vex de x_1.
Obs.: Veja tudo que o que foi dito geometricamente, assim voc� entender� melhor.
�der.
kirchhoff <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
kirchhoff <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
oi pessoal... t� com uma d�vida nessa quest�o... poderiam me ajudar???
14) prove que n�o existe f: [a,b] ->R cont�nua, tal que se y pertence a
imagem de f, ent�o a equa��o f(x) = y tem exatamente duas solu��es.
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