Re: [obm-l] supremo

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] supremo

on 08.06.04 15:15, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Meu caro Cl�udio,
n�o entendi sua pergunta!!!

Existem duas formas de interpretar o enunciado:

Numa, as funcoes f e g sao dadas de antemao e queremos apenas calcular o supremo da imagem das funcoes  f - g  e  |f - g|.

Na outra, queremos calcular o supremo do conjunto de todas as expressoes da forma f(x) - g(x) (ou |f(x) - g(x)|) com f e g sendo quaisquer funcoes de B(X;R) e x sendo qualquer elemento de x.

Mas, de qualquer forma, nesse segundo caso, os supremos nao existem (ou seja, nao sao numeros reais. Dependendo da convencao que voce usa, voce poderia dizer que ambos sao iguais a +infinito, mas tem gente que nao gosta muito desse tipo de linguagem, jah que +infinito nao eh um numero real)

Assim, acho mesmo que voce tinha em mente a primeira interpretacao.

[]s,
Claudio.

Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

on 08.06.04 11:39, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Seja B(X;R) = {f: X --> R; f limitada}. Gostaria de saber se algu�m sabe se existe alguma rela��o entre o
| sup_{x em X}(f(x) - g(x)) | e o sup_{x em X}{| f(x) - g(x) |}, onde f e g est�o em B(X;R).

Obs.: (i) O s�mbolo "_" indica �ndice, por exemplo, x_{0} quer dizer x �ndice 0;
       (ii) X � um subconjunto do conjunto dos reais (denotado por R);
      (iii) As "{ }" n�o precedidas de "_" indica conjunto.

Grato desde j�, �der.

Oi, Eder:

As funcoes f e g sao dadas ou os supremos sao calculados sobre todas as! f e g de B(X;R) alem de todos os x de X ?


De qualquer forma, basta considerar a funcao h:X -> R dada por h(x) = f(x) - g(x), pois eh claro que se f e g pertencem a B(X;R) entao h tambem pertence.

Assim, sejam:
A = sup{h(x)   t.q.   x pertence a X   e   h a B(X;R)};
a = inf{h(x)   t.q.   x pertence a X   e   h a B(X;R)};
B = sup{|h(x)|   t.q.  x pertence a X   e   h a B(X;R)}.

Queremos a relacao entre |A| e B.

Se h for dada de antemao, entao vale |A| <= B.

Nesse caso, basta mostrar que B = max{|A|,|a|}, o que eh consequencia das desigualdades:
B >= |h(x)| >= max{h(x),-h(x)}.
e do fato que, para qualquer subconjunto Y de R, vale:
sup(-Y) = -inf(Y)  e  inf(-Y) = -sup(Y), onde -Y = {-y  t.q.  y pertence a Y}.

Um exemplo onde vale a desigualdade estrita eh:
X = [0,1]  e ! bsp;h(x) = 3x - 2.
Nesse caso:
A = 1, a = -2 e B = 2 > 1 = |A|.

***

Por outro lado, se os supremos forem tomados sobre todas as funcoes de B(X;R), entao vale a igualdade, pois se a funcao f pertence a B(X;R), entao a funcao |f|, dada por |f|(x) = |f(x)| tambem pertence e, no caso de |f|, os dois supremos sao claramente iguais, pois a funcao toma apenas valores nao-negativos.


[]s,
Claudio.