on 06.06.04 12:43, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Em sua conjetura, Riemann sugeriu uma f�rmula para descrever onde est�o os
> primos. Envolve um certo grupo de n�meros, que se encontram inseridos em um
> plano, e que correspondem a solu��es que tornam uma equa��o igual a zero. S�o
> os zeros da fun��o Zeta.
> Traduzindo a hip�tese para a forma did�tica, sabemos que os n�meros primos se
> encontram imersos no U = N, e quem se dispor a ceder uma organiza��o desses
> n�meros, estar� em parte contribuindo para a valida��o da equa��o,ou para
> demonstra��o de falhas na mesma. Sabemos que a equa��o j� foi testada at� 10
> elev 23 e que a mesma pareceu eficiente, atendendo a fun��o.
> Algu�m consegue ceder uma explica��o mais did�tica para tal fun��o??
> Saudadade do tempo em aprendi que n�emro primo � aquele que se divide por 1 e
> por ele mesmo.
> Abra�o para a lista.
>
>
A funcao zeta original, estudada por Euler, eh definida apenas para numeros
complexos com parte real > 1. A expressao da funcao eh a seguinte:
zeta(s) = SOMA(n>=1) 1/n^s (Re(s) > 1).
Assim, por exemplo, temos que zeta(2) = Pi^2/6.
Pode-se provar que essa funcao eh analitica e, alem disso, pode ser
estendida, de forma unica, a uma funcao analitica definida em C - {1} (todo
o plano complexo, exceto o ponto s = 1). O trabalho de Riemann foi baseado
na funcao zeta estendida.
A hipotese de Riemann diz que todos os zeros com parte real positiva da
funcao zeta, assim estendida, tem parte real = 1/2. Hoje em dia, sabe-se que
todos os zeros com parte real positiva tem parte real entre 0 e 1, que eles
sao simetricamente dispostos em relacao a reta Re(s) = 1/2 (ou seja, se,
para 0 <= a <= 1, zeta(a + bi) = 0, entao zeta(1-a + bi) = 0) e que existe
uma infinidade de zeros com parte real = 1/2.
A conexao da funcao zeta com os primos eh evidenciada pela identidade:
SOMA(n>=1) 1/n^s = PRODUTO(p primo) (1 - 1/p^s)^(-1)
a qual expressa a igualdade entre dois limites quando Re(s) > 1.
Mesmo pra quem nao conhece limites, eh interessante tentar ver porque a
identidade acima faz sentido (dica: o lado direito eh um produtorio cujos
termos sao somas de PGs)
Pra quem tem interesse, o IME-USP vai oferecer um curso sobre a funcao zeta
no proximo semestre.
[]s,
Claudio.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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