pode-se escrever
p(x) = p(a) + p�(a)(x-a) + [p��(a)(x-a)^2]/2 +...+[p^(n)(a)(x-a)^n]/n!
nota��o: p^(n) (x) -> derivada n-�sima de p(x);
Apresento a seguir uma solu��o que n�o "apela" para s�ries de Taylor ou Resto de Lagrange:
Temos:
p(x) = ao + (a1)x + (a2)x^2 + ... + (an)x^n =>a0 = p(0);
p'(x) = a1 + 2(a2)x + 3(a3)x^2 + ... + n(an)x^(n-1) =>a1 = p'(0);
p''(x) = 2(a2) + 3*2(a3)x + 4*3(a4)x^2 + ... + n(n-1)(an)x^(n-2) =>a2 = p''(0)/2;
. . .
p^(n) (x) = n!(an); =>an = p^(n) (0) / n!;
Logo:
p(x) = p(0) + p'(0)x + (p''(0))/2)x^2 + ... + (p^(n) (0))/n!)x^n ; (1)
seja q(x) = p(x+a); q(x) tamb�m � um polin�mio, portanto pode ser escrito como em (1);
q(x) = q(0) + q'(0)x + (q''(0)/2)x^2 + ... + (q^(n) (0))/n!)x^n;
mas q(0) = p(a), q'(0) = p'(a) e assim por diante. Ent�o:
q(x) = p(a) + p'(a)x + (p''(a)/2)x^2 + ... + (p^(n) (a))/n!)x^n;
=> q(x-a) = p(a) + p'(a)(x-a) + (p''(a)/2)(x-a)^2 + ... + (p^(n) (a))/n!)(x-a)^n;
Mas, q(x-a) = p(x-a+a) = p(x). Logo:
p(x) = p(a) + p'(a)(x-a) + (p''(a)/2)(x-a)^2 + ... + (p^(n) (a))/n!)(x-a)^n;
Como quer�amos demonstrar.
Na verdade, o que fiz foi provar a validade da f�rmula de Taylor para polin�mios.
Algu�m poderia apresentar a prova para uma fun��o qualquer, infinitamente deriv�vel?
O meu livro de C�lculo 2 (Leithold) n�o prova.
Abra�os!
Fl�vio �vila
From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] D�vida! Date: Tue, 01 Jun 2004 12:25:17 -0300
Acho que isso decorre da unicidade do polinomio de Taylor de uma funcao n+1 vezes derivavel, que eh o caso de p(x).
Nesse caso, o resto de Lagrange eh p^(n+1)(a + t(x - a))*(x-a)^(n+1)/(n+1)! = 0, pois a (n+1)-esima derivada de p(x) eh a funcao identicamente nula.
[]s, Claudio.
on 01.06.04 10:01, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Gostaria de saber se algu�m poderia me ajudar com o exerc�cio abaixo:
Seja p: R--> R um polin�mio de grau n. Mostre que para a, x em R,
pode-se escrever
p(x) = p(a) + p�(a)(x-a) + [p��(a)(x-a)^2]/2 +...+[p^(n)(a)(x-a)^n]/n!
Nota��o: p^(i)(a) = i-�sima derivada de p em a.
PS.: Fiquei at� um pouco receioso em colocar essa d�vida aqui na lista,
pois parece ser t�o imediata usando o Polin�mio de Taylor com Resto
de Lagrange, mas infelizmente n�o consegui resolv�-la.
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