Cl�udio,
Eu escrevi minha id�ia para mostrar a contradi��o.
> on 30.05.04 21:40, Fernando Villar at [EMAIL PROTECTED] wrote:
>
> > Ol� M�rcio,
> >
> > Acho que esta � uma solu��o poss�vel:
> >
> > Considere os conjuntos
> > A_i={coordenadas de x_i}
> > M_i=Max A_i
> > m_i=min A_i
> > E os intervalos fechados
> > J_i=[m_i,M_i]
> >
> > � claro que A_i est� contido em J_i para todo i.
> > E temos a seq��ncia de intervalos fechados "encaixantes":
> > J_0 cont�m J_1 cont�m ...
> > Cuja interse��o sabemos que � n�o vazia.
> > Suponha que a interse��o de todos os {J_i}s seja um intervalo
> > [a,b]. Pela constru��o chegamos a um absurdo se considerarmos a<b.
>
> Oi, Fernando:
> Tah tudo perfeito ateh aqui, mas nao ficou claro porque supor que a < b
> resulta em contradicao (veja bem, acho ateh que isso eh verdade, mas
tambem
> acho que precisa duma explicacao mais detalhada).
>
> []s,
> Claudio.
Ol� Cl�udio,
Eu havia pensado no seguinte argumento:
Suponha que a<b
Como [a,b] est� contido em J_i para todo i temos que m_i =< a < b=<M_i para
todo i.
teremos
m_0=<m_1=<...=<m_i=<... a < b=<...=<M_i =<...=<M_1=<M_0
e a = sup {m_i} e b = inf {M_i}
Seja E=(b-a)>0.
existem �ndices k,j tais que:
a-E/4=<m_k=< a
b =< m_j =<b+E/4
Sem perda de generalidade podemos supor j<k:
Existe uma quantidade finita,digamos no m�ximo p, de coordenadas de x_k que
pertencem
aos intervalos [m_k,a] ou [b,M_k].
Por constru��o duas das coordenadas do vetor x_(k+1) s�o dadas por
w =m_k +[(M_k-m_k)/2] = M_k - [(M_k-m_k)/2]
note que
E=< (M_k-m_k)=< 3E/2
donde
a-E/4=<m_k+E/2=< w =< m_k+3E/4
e
M_k-3E/4=< w =< M_k -E/2=<b+E/4
Por outro lado
a-E/4=<m_k implica que a+E/4=< m_k+E/2
donde a<w
e
M_k =<b+E/4 implica que M_k -E/2=<b-E/4
donde w<b
Assim a<w<b (**)
e consequentemente x_(k+1) tem no m�ximo p-2, de que pertencem
aos intervalos [m_k,a] ou [b,M_k].
Utilizando argumentos an�logos aos utilizados para provar (**)
teremos ap�s p etapas (possivelmente antes)
que as coordenadas do vetor x_(k+p+1) s�o maiores do que a e menores do que
b.
Assim J_(k+p+1) est� contido em (a,b).
Portanto o intervalo J_(k+p+1) n�o pode conter [a,b]. Contradi��o.
Ufa! Acho que � isso!
[]s,
Fernando
> > Da� a=b.
> > como
> > A_i est� contido em J_i para todo i.
> > segue que A_i converge para {a}
> > e portanto
> > x_n converge para w=(a,a,...,a)
> >
> >
>
>
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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