[obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_DUVIDA_-_fun=E7ao?=

[Cl�udio \(Pr�tica\)]

Outra d�vida:   - Uma fun��o f : A --> B (em que A � o conjunto dos numeros reais positivos n�o - nulos e B o conjunto dos reais) ï¿½ estritamente crescente e para "x" e "y" pertencentes a A temos: f (x.y) = f(x) + f(y) . Sabe-se ainda que f(1) = 0 e f(2) = 1. Demonstrar que f(3) � irracional.   � f�cil provar (por exemplo, por indu��o) que, para n inteiro positivo, vale f(x^n) = n*f(x). Em particular, f(2^n) = n*f(2) = n. Como f � estritamente crescente, f � injetiva. Logo, f(x) � inteiro positivo <==> x = 2^n, com n inteiro positivo.   Suponhamos que f(3) seja racional, ou seja, f(3) = p/q com p,q inteiros positivos primos entre si. (podemos supor que p e q s�o ambos positivos porque f(3) > f(2) > 0).   f(3^q) = q*f(3) = q*(p/q) = p = inteiro positivo ==> 3^q = 2^n para algum inteiro n ==> contradi��o ao teorema fundamental da aritm�tica ==> f(3) � irracional   []s, Claudio.