Jo�o Silva wrote:
- Uma fun��o f : A --> B (em que A � o conjunto dos numeros reais
positivos n�o - nulos e B o conjunto dos reais) � estritamente crescente
e para "x" e "y" pertencentes a A temos: f (x.y) = f(x) + f(y) . Sabe-se
ainda que f(1) = 0 e f(2) = 1. Demonstrar que f(3) � irracional.
f(sqrt(2)*sqrt(2))=2*f(sqrt(2))=f(2)=1
logo f(sqrt(2))=1/2
Da� fica claro que uma fun��o f � o log na base 2 n�? Pois:
log2 (1) = 0
log2 (sqrt(2))=1/2
log2 (2) = 1
log2 (ab) = log2 (a) + log2 (b)
Ent�o resta provar que log2(3) � irracional.
Pra isso acontecer, 3=2^(p/q) com p,q inteiros.
Mas ent�o 3^q=2^p, e com p,q inteiros isso � imposs�vel.
Hum.. resta provar que log2 � a �nica fun��o f que
satisfaz o enunciado, isso eu n�o sei fazer.
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Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
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