Eu j� havia resolvido este problema e, se n�o me engano, ele caiu em uma das provas do Col�gio Naval. Por�m, ao ler o enunciado fornecido pelo Victor, eu estranhei a omiss�o da informa��o de que o segmento MN que divide o trap�zio em dois outros trap�zios equivalentes � paralelo �s bases AB e CD. A fim de garantir que a aus�ncia desta informa��o n�o garante a unicidade do c�lculo da medida do segmento MN em fun��o de a e b, eu formulei uma outra quest�o para utiliz�-la como um contra-exemplo.
Vamos ao enunciado da quest�o que eu formulei baseando-me no problema fornecido pelo Victor: Seja ABCD um trap�zio ret�ngulo de bases AB = 1 e CD = 3 e cujo �ngulo interno formado entre o lado BC e a base CD � igual a 60�. Dados os pontos M e N, pertencentes aos lados n�o-paralelos, tais que o segmento MN divide esse trap�zio em dois outros trap�zios equivalentes, calcule MN para cada um dos dois casos apresentados abaixo. Primeiro caso: MN � perpendicular ao lado BC. (Resposta: sqr(5)) Segundo caso: MN forma um �ngulo de 30� com o prolongamento da base AB no sentido de B para A. (Resposta: sqr(10)) A fim de tentar garantir que as respostas apresentadas est�o corretas, eu desenvolvi mais de uma solu��o para cada caso, sendo que uma delas foi por Geometria Anal�tica. A resolu��o apresentada pelo Boromir corresponde a uma das solu��es que eu havia desenvolvido para o problema original, por�m ela somente tem validade se no enunciado for informado que o segmento MN � paralelo �s bases AB e CD, o que n�o foi o caso do problema proposto pelo Victor. Vamos reformular o enunciado para que a resolu��o do Boromir seja v�lida e, na seq��ncia, eu apresentarei uma resolu��o alternativa. ENUNCIADO MODIFICADO: Dado um trap�zio ABCD de bases AB = a e CD = b e os pontos M e N pertencentes aos lados n�o-paralelos. Se o segmento MN � paralelo �s bases e divide esse trap�zio em dois outros trap�zios equivalentes, calcule MN em fun��o dos lados AB = a e CD = b. RESOLU��O ALTERNATIVA: Considere CD = b como a base maior e AB = a como a base menor, logo b > a, MN = x, H a dist�ncia entre a AB e MN e h a dist�ncia entre MN e CD. Tamb�m considere que o ponto M pertence ao lado DA e o ponto N ao lado BC. Trace uma paralela ao lado DA passando pelo v�rtice B do trap�zio, de modo a interceptar o segmento MN no ponto E e a base CD no ponto F. Deste modo, ABEM e MEFD s�o paralelogramos, conseq�entemente tem os lados opostos congruentes. Portanto: ME = AB = a e DF = ME = a. MN = ME + EN => x = a + EN => EN = x - a DC = DF + FC => b = a + FC => FC = b - a Tri�ngulo BEN ~ Tri�ngulo BFC (Crit�rio AA~): FC/EN = (H + h)/ H => (b - a)/(x - a) = 1 + h/H => => (b - x)/(x - a) = h/H (i) De acordo com os dados, os trap�zios ABNM e MNCD s�o equivalentes, logo: S[ABNM] = S[MNCD] => (1/2).(x + a).H = (1/2).(b + x).h => => (x + a)/(b + x) = h/H (ii) Aplicando a propriedade transitiva nas igualdades (i) e (ii): (b - x)/(x - a) = (x + a)/(b + x) => x^2 - a^2 = b^2 - x^2 => => 2x^2 = a^2 + b^2 => x = sqr[(a^2 + b^2)/2] Resposta: MN = sqr[(a^2 + b^2)/2] Aplicando a f�rmula encontrada para resolver o problema do trap�zio ret�ngulo com bases AB = 1 e CD = 3 e <BCD = 60�, apresentado acima, teremos: MN = sqr[(1^2 + 3^2)/2] = sqr(10/2) = sqr(5) Observe que o valor encontrado na aplica��o da f�rmula coincide com o valor encontrado no primeiro caso, mas difere do valor encontrado no segundo caso. Portanto, a informa��o de que MN � paralelo �s bases � necess�ria para garantir a unicidade do comprimento de MN em fun��o de a e b, uma vez que com diferentes inclina��es podemos encontrar um valor diferente de sqr[(a^2 + b^2)/2] para o comprimento do segmento MN. Atenciosamente, Rog�rio Moraes de Carvalho Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informa��o [EMAIL PROTECTED] -----Original Message----- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of boromir Sent: sexta-feira, 30 de abril de 2004 01:09 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?) Ajeitei o texto (embora n�o tenha usado nenhum caracter especial) eu tb recebi a mensagem truncada. []'s MP ================= >De:"Fellipe Rossi" <[EMAIL PROTECTED]> >Para:<[EMAIL PROTECTED]> >Assunto:Re: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?) > >Boromir n�o consigo entender nada da mensagem >Talvez voce esteja usando mtos caracteres >"especiais"... MEnsagem alterada: Vamos considerar a < b. Seja ainda P o ponto de encontro dos prolongamentos dos lados n�o paralelos DA e CB. Conforme o enunciado, [ABNM]=[NMDB] = S. ([figura] = �rea do figura) Vamos considerar [APB]=K. APB ~ MPN (raz�o a/x, onde MN = x). A raz�o entre as �reas � o quadrado da raz�o de semelhan�a, portanto (K+S)/K = (x/a)^2. Ainda temos que APB~DPC (raz�o a/b), portanto (K+2S)/K = (b/a)^2. Escrevendo melhor as equa��es acima, temos: 1 + S/K = x�/a� -> S/K = (x�-a�)/a� 1 + 2S/K = b�/a� -> 2S/K = (b�-a�)/a� Dividindo a segunda pela primeira equa��o temos: 2(x�-a�) = b�-a� 2x�=b�+a� x = SQRT{(a�+b�)/2} Se eu n�o errei as contas acho que � isso. []'s MP *************************************************************************** Em Ter, 2004-04-27 �s 18:42, Victor Machado escreveu: Bom, esta quest�o foi um desafio para mim, n�o sei para os senhores: Dado um trap�zio ABCD de bases AB = a e CD = b e os pontos M e N pertencentes aos lados n�o-paralelos. Se o segmento MN divide esse trap�zio em dois outros trap�zios equivalentes, calcule MN em fun��o dos lados AB = a e CD = b. Victor. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
