From: "Cl�udio (Pr�tica)" <[EMAIL PROTECTED]> > > > > Se X eh um conjunto qualquer de objetos e definimos uma metrica em X que > nao > > o faca completo, eh entao verdade que existe um espaco metrico completo > > contendo X como subespaco? > > > > Artur > > > Bom, isso eu j� n�o sei dizer porque topologia n�o � nem de longe a minha > praia, mas me parece que se tornarmos Q (corpo dos racionais) um espa�o > m�trico com a dist�ncia usual d(x,y) = |x - y|, a exist�ncia de um espa�o > m�trico completo que o contenha s� � estabelecida por meio do axioma do > supremo. > > No caso geral pode ser que voc� tamb�m tenha que postular a exist�ncia de um > espa�o m�trico completo contendo um dado espa�o. > > De qualquer jeito, acho melhor esperar pela resposta de algu�m mais > gabaritado... > > []s, > Claudio.
Oi Cl�udio e Artur. Na verdade, esta � uma quest�o simples, que est� respondida no livro de Espa�os M�tricos do Elon, se eu a entendi bem. Dado um espa�o m�trico geral X existe um compleTAmento Y de X, que o cont�m como subespa�o m�trico (na verdade � uma cop�a isom�trica de X), que � completo e tal que X � denso em Y. A maneira que sei de provar isto � exibir Y, dado um X. Considere o conjunto das seq��ncias de Cauchy em X, denotado por S. (Lembra o que � seq��ncia de Cauchy? Uma seq��ncia (x_n) em X � de Cauchy se para todo e > 0 existe N tal que d(x_n,x_m) < e se n, m > N). Defina ent�o uma rela��o de equival�ncia em S: (x_n) ~ (y_n) :== lim d(x_n,y_n) = 0 Ou seja, duas seq��ncias de Cauchy s�o equivalentes se elas se confundem no infinito ou os seus termos gerais se tornam arbitrariamente pr�ximos. Para finalizar tome o conjunto quociente Y = S/~, definindo dist�ncia de duas classes de seq��ncias de Cauchy [(x_n)] e [(y_n)] como: D( [(x_n)], [(y_n)] ) = lim d(x_n, y_n) (� preciso mostrar que D est� bem definida, i.e., independe da escolha (x_n) e (y_n) nas suas classes de eq�ival�ncia) Fica como exerc�cio mostrar que X pode ser imerso naturalmente em Y, (cada x em X � levado na classe da seq��ncia constante (x) em Y) e que Y � completo e X � denso em Y. N�o � dif�cil, asseguro. Abra��o, Duda. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
