From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> > Boa noite > > Naquele problema sobre a funcao logaritmica, acabei > chagando aa conclusao que, se f eh uniformemente > continua nos racionais (ou, de modo mais geral, em um > conjunto denso em R) e monotonica em todo o R, entao f > eh continua em R. > E se relaxarmos continuidade uniforme e assumirmos > apenas continuidade? A conclusao permanece valida? > Naum cheguei a uma conclusao ainda. > Artur
Oi Artur. Depois de semanas sem tempo para relaxar, estou tendo um dia de folga e � com prazer que leio e repondo algumas mensagens desta nossa querida lista de discuss�o. Que saudades! Se X � denso em Y, tratando-se de espa�os m�tricos, e uma fun��o f de X em R � uniformemente cont�nua (n�o precisa da hip�tese de monotonicidade), ela pode ser estendida a uma fun��o F de Y em R ainda uniformemente cont�nua, com F|X = f. Se f � uniformemente cont�nua, leva seq��ncias de Cauchy em seq��ncias de Cauchy (isto n�o vale se f � s� cont�nua), e da� voc� estende f num ponto "a" FORA de X, em Y, como o limite de f numa seq��ncia de Cauchy em X qualquer cujo limite � "a". Em seguida, mostra que F assim obtida est� bem definida: se (x_n) e (y_n) s�o de Cauchy em X com limite em a, ent�o a seq��ncia (z_n) = (x_1,y_1,x_2,y_2,...) � de Cauchy e logo (f(z_n)) � de Cauchy, o que mostra que os limites de (f(x_n)) e de (f(y_n)), ambas subseq��ncias de (f(z_n)), � o mesmo. Por fim, demonstra ser F uniformemente cont�nua: dado e > 0 existe d > 0 para a uniformidade cont�nua de f; se a e b est�o em Y e (x_n) e (y_n) em X tem limites a e b, respectivamente, e d(a,b) < d ent�o existe N tal que d(x_n,y_n) < d se n > N donde se conclui que d(f(x_n),f(y_n)) < e e o limite d(f(a),f(b) <= e. A conclus�o n�o valeria se f fosse s� cont�nua. Vide o exemplo de f : (0 , 1] --> R, f(x) = 1/x. Ela n�o pode ser estendida continuamente a todo [0 , 1]. Abra�o, Duda. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
