Genial como sempre... Alias, aquela do Presuntinho e do Taz cego foi otima! --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Seguindo a sugestao do Dirichlet, aqui vai a > primeira questao da primeira > Ibero Universitaria: > > OIMU-1998 Problema 1 (4 puntos) > > Las integrales definidas entre 0 y 1 de los > cuadrados de las funciones > reales continuas f(x) y g(x) son iguales a 1. > Demuestre que existe un n�mero > real c tal que > > f(c) + g(c) <= 2. > > ----- > > Suponhamos que f(x) + g(x) > 2, para todo x em > (0,1). > > Entao, (f(x) + g(x))^2 = f(x)^2 + g(x)^2 + > 2*f(x)*g(x) > 4. > > Integrando de 0 a 1, obtemos: > Int(0..1) (f(x)^2 + g(x)^2 + 2*f(x)*g(x))*dx > > Int(0..1) 4*dx ==> > 1 + 1 + 2*Int(0..1) f(x)*g(x)*dx > 4 ==> > Int(0..1) f(x)*g(x)*dx > 1 > > Mas tambem: > (f(x) - g(x))^2 = f(x)^2 + g(x)^2 - 2*f(x)*g(x) > >= 0 para todo x em (0,1). > > Logo, Int(0..1) (f(x)^2 + g(x)^2 - > 2*f(x)*g(x))*dx >= 0 ==> > 1 + 1 - 2* Int(0..1) f(x)*g(x)*dx >= 0 ==> > Int(0..1) f(x)*g(x)*dx <= 1 ==> > contradicao ==> > existe c em (0,1) tal que f(c) + g(c) <= 2. > > > []s, > Claudio. > > > on 26.04.04 17:15, Johann Peter Gustav Lejeune > Dirichlet at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Ola turma!!!Que tal a gente fazer umas questoes > da IObero Universitaria so > para se divertir?Vou tentar inaugurar o site > com elas!Quem quiser tem no > site da OBM, e tem a primeirona em > > http://olimpia.uanarino.edu.co/oimu/oimu.htm > > Qualquer coisa estamos ai! > Ass.:Johann > > >
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