O que este problema pede eh para deduzir o Teorema do Valor Medio no caso de funcoes de R^n -> R. Admitamos que o enunciado tenha sido modificado e que, em vez de se supor apenas a existencia das derivadas parciais de f no retangulo aberto, estejamos supondo difenciabilidade de f. Isto implica a existencia de todas as derivadas direcionais em todos os pontos do retangulo.
Sejam a e b pontos do retangulo. Como este eh convexo, o segmento que une a a b estah todo no retangulo. Seja u = (b-a)/||b-a|| o vetor unitario na direcao do segmento e definamos g:[0,1] -> R por g(t) = f(a+ t/(||b-a||)*u), de modo que g(0) = f(a) e g(1) = f(b). Temos entao que g eh diferenciavel em [0,1], valendo assim o T. do Valor Medio, caso unidimensional. Existe portanto um 0<y<1 tal que g(1) - g(0) = f(b) - f(a) = g'(y). Mas g'(y) eh a derivada direcional de f no ponto x =a+ y/(||b-a||)*u, o qual estah no segmento que une a e b.A diferenciabilidade de f no retangulo aberto implica entao que g'(y) = D_u(x) = Grad(x)*u, sendo D_u(x) a derivada direcional em x na direcao u e Grad o gradiente de f. Na ultima equacao * siginfica produto escalar. Aplicando-se este teorema ao seu caso no R^2, temos a cxonclusao desejada. Ou melhor TERIAMOS, porque as condicoes dadas nao implicam difreenciabilidade de f. Acho que o problema estah mal formulado. Artur Carlos bruno Macedo <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Provar > > Seja A c R^2 um retangulo aberto, de lados paralelos > aos eixos. Se f: A--->R > possui derivadas parciais em todos os pontos de A > ent�o, dados (a,b) e > (a+h,b+k) em A existe t em (0,1) tal que > > f(a+h,b+k)-f(a,b)=d1f(a+th,b+k)h + d2f(a+h,b+tk)k. > > Obrigado > > _________________________________________________________________ > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. > http://www.hotmail.com > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= __________________________________ Do you Yahoo!? Win a $20,000 Career Makeover at Yahoo! HotJobs http://hotjobs.sweepstakes.yahoo.com/careermakeover ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
