on 28.03.04 22:59, Daniel Silva Braz at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Pessoal, > > Mostre que a �rea da superf�cie de uma zona de uma > esfera que est� entre dois planos paralelos � s = > (pi)dh, onde d � o di�metro da esfera e h � a > dist�ncia entre os planos. > > Daniel S. Braz > Oi, Daniel:
A solucao do Artur eh impecavel, mas esse problema tambem pode ser resolvido pelo teorema de Pappus em coordenadas polares. O teorema de Pappus diz que a area lateral de um solido gerado pela revolucao de uma curva em torno de um eixo eh igual a 2*Pi*y(b)*L, onde: y(b) = distancia do baricentro da curva ateh o eixo de revolucao; L = comprimento da curva. Em coordenadas polares, uma circunferencia de diametro d com centro na origem tem equacao: R = d/2. A zona serah gerada pela revolucao, em torno do eixo polar, de um arco dessa circunferencia limitado pelos pontos (d/2,t1) e (d/2,t2). A distancia entre as projecoes perpendiculares desses dois pontos no eixo polar serah: h = (d/2)*(cos(t1) - cos(t2)) Pelo teorema de Pappus: A = 2*Pi*y(b)*L Mas, y(b)*L eh calculado de acordo com: y(b)*L = Integral(t1..t2) y*dL. onde: y = (d/2)*sen(t) = distancia do ponto (d/2,t) ao eixo polar; dL = R*dt = (d/2)*dt = elemento de arco. Logo: y(b)*L = Integral(t1..t2) (d/2)^2*sen(t)*dt = (d/2)^2*(cos(t1) - cos(t2)) = (d/2)*h Portanto, A = 2*Pi*y(b)*L = 2*Pi*(d/2)*h = Pi*d*h []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
