On Thu, Jan 29, 2004 at 11:09:05PM -0200, Marcio Afonso A. Cohen wrote: > Bom gente, eu mandei esse problema pra lista, acompanhei os emails do > Arthur, do Cl�udio e do Nicolau sobre ele, inclusive chegando a solucao > final. Legal. Segue abaixo uma outra solucao, bastante interessante, > para o problema. (o fan�tico por polinomios de chebyshev da lista vai > adorar :) ).
Antes de mais nada eu queria pedir desculpas por estar respondendo com tanta demora. A solu��o que o Marcio apresenta abaixo � bem legal. Ela at� prova mais do que ele afirma, ela no fundo prova que se cos(p Pi/q) � inteiro alg�brico ent�o cos(p Pi/q) = 0 ou +-1, ou seja, prova exatamente a mesma coisa que eu demonstrei nesta lista h� aprox um m�s, mas de forma mais simples. Por outro lado, ela tem uma pequena falha; irrelevante para a solu��o, mas ainda assim uma afirma��o errada. Vou primeiro apontar e corrigir o erro e depois apresentar a prova da afirma��o mais geral. > A ideia eh que se x = arccos((raiz(5)-1)/2) fosse multiplo racional de > Pi, entao haveria um inteiro n tal que cos(nx) = 0, e portanto cos(x) > seria raiz de uma equacao de coeficientes inteiros t^n + ...t^n-1 +... = > 0 (polinomio de chebyshev). O erro est� aqui: o polin�mio de Chebyshev n�o � m�nico, ou seja, o coeficiente l�der n�o � 1. Claro que numa equa��o voc� sempre pode dividir tudo pelo coeficiente l�der mas a� os coeficientes deixam de ser inteiros. > Mas por um lado todas as raizes desse > polinomio estao em [-1,1] (afinal, temos cos(nx) = t^n + ... e isso vale > zero para nx(k) = pi/2 + kpi, k = 0, 1, 2, 3, ..., n-1, o que ja lista > todas as raizes do polinomio como sendo cos x(k) para algum k), e por > outro lado o conjugado de cosx, (raiz(5)+1)/2 > 1 tambem deveria ser raiz > dela... Legal n�? De certa forma esta solu��o aponta tanto para o pr�prio erro quanto para a prova da afirma��o mais geral: se todos os conjugados de um n�mero alg�brico est�o no intervalo (-1,1), � bem �bvio que o produto de todos os conjugados tamb�m vai estar no intervalo (-1,1). Mas o produto de todos os conjugados de um n�mero alg�brico z � +-a0/an, onde an x^n + ... + a1 x + a0 � o polin�mio de coeficientes inteiros de grau m�nimo que tem raiz z. Assim |a0| < |an| e � portanto bem claro que |an| > 1, ou seja, que z n�o � um inteiro alg�brico. Eu s� n�o entendi pq o Marcio disso que "o fan�tico por polinomios de Chebyshev da lista vai adorar": o legal desta solu��o � justamente que, ao contr�rio da minha, n�o precisamos usar *nada* de polin�mios de Chebyshev! []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
