On Tue, Mar 02, 2004 at 01:51:44AM -0300, Claudio Buffara wrote: > on 02.03.04 00:55, F�bio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> said: > >> Seja A uma matriz real 3x3 tal que A^2005 = I. > >> Prove que A = I. > > > > Eu acho que A = [1 0 0; 0 cos(t) sen(t); 0 -sen(t) cos(t)], onde t = > > 2*pi/2005, � tal que A^2005 = I -- pelo menos o PARI-GP concorda comigo. > > Voce estah certo. Os autovalores de A sao 1, e^(it) e e^(-it) e, portanto, > existe uma matriz inversivel P, de coeficientes complexos, tal que: > A = P*D*P^(-1), onde D = diag(1,e^(it),e^(-it)). > Logo, A^2005 = P*D^2005*P(-1) = P*I*P^(-1) = I, apesar de A <> I. > > O meu erro foi supor que, por serem raizes 2005-esimas da unidade, os > autovalores de A nao poderiam ser raizes de um polinomio de grau 3, a menos > que eles fossem todos iguais a 1, mas isso eh uma grande besteira e o > polinomio caracteristico da sua matriz A eh o contra-exemplo.
Talvez uma vers�o corrigida do problema do Claudio seja: Seja A uma matriz 3x3 com coeficientes *racionais* tal que A^2005 = I. Prove que A = I. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
