> > Determine dois tri�ngulos n�o congruentes tais que cinco elementos de um > deles sejam congruentes a cinco elementos do outro. > Sejam T1 e T2 os dois triangulos. Os cinco elementos dever�o ser 2 lados e 3 �ngulos, pois se 3 lados de T1 forem congruentes a 3 lados de T2, ent�o T1 e T2 ser�o congruentes. Al�m disso, T1 e T2 ser�o semelhantes.
Por exemplo, os angulos e lados opostos correspondentes podem ser: Em T1: A - a B - b C - x Em T2: A - b B - y C - a T1 ~ T2 ==> a/b = b/y = x/a ==> x = a^2/b e y = b^2/a. (razao de semelhanca = b/a) Supondo s.p.d.g. que a > b, teremos a^2/b > a > b. Eh claro que a desigualdade triangular precisa ser obedecida: a + b > a^2/b ==> (b + a/2)^2 > 5a^2/4 ==> a > b > a*(raiz(5)-1)/2 Em T1, aplicamos a lei dos cossenos em relacao as angulos A e B: a^2 = b^2 + a^4/b^2 - 2*b*(a^2/b)*cos(A) ==> 1 = b^2/a^2 + a^2/b^2 - 2*cos(A) ==> cos(A) = (1/2)*((b/a)^2 + (a/b)^2 - 1) b^2 = a^2 + a^4/b^2 - 2*a*(a^2/b)*cos(B) ==> b^2/a^2 = 1 + a^2/b^2 - 2*(a/b)*cos(B) ==> cos(B) = (1/2)*(a/b + b/a - (b/a)^3) A partir de cos(A) e cos(B), A, B e C (= 180 - A - B) ficam determinados univocamente (uma vez que 0 < A, B, C < 180 graus). **** Por exemplo, escolhendo b/a = 0,8, obtemos: cos(A) = 0,60125 ==> A = 53,040525 graus cos(B) = 0,769 ==> B = 39,735826 graus ==> C = 87,223649 graus Testando, pela lei dos senos, teremos: sen(A) = 0,799061 sen(B) = 0,639249 sen(A)/sen(B) = 0,8 = a/b. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
