On Sat, Feb 28, 2004 at 11:47:25AM -0300, Regina Helena Alonso wrote: > Vamos l�: Como provar sem usar o conceito de matriz inversa e nem > determinante, mas somente multiplica��o de matrizes e suas propriedades, a > propriedade abaixo: > > Se A e B s�o matrizes de quadradas reais de mesma ordem e AB = I (matriz > Identidade), ent�o BA = I .
N�o tenho certeza se � poss�vel fazer o que voc� quer. Esta propriedade depende dos espa�os vetoriais envolvidos terem dimens�o finita: se V � um espa�o vetorial de dimens�o infinita ent�o n�o � dif�cil encontrar transforma��es lineares A e B de V em V com AB = I mas BA diferente de I. Se V = R^infinito, o espa�o vetorial das seq��ncias infinitas de reais, podemos tomar A(x0, x1, x2, x3, ... ) = (x1, x2, x3, x4, ... ) B(x0, x1, x2, x3, ... ) = (0, x0, x1, x2, ... ) ent�o AB(x0, x1, x2, x3, ... ) = (x0, x1, x2, x3, ... ) BA(x0, x1, x2, x3, ... ) = (0, x1, x2, x3, ...) Um exemplo relacionado � se tomarmos V = R[x], o espa�o dos polin�mios com coeficientes reais na vari�vel x, A(p) = (p - p(0))/x, B(p) = xp. Assim de alguma maneira a hip�tese de que a dimens�o � finita precisa aparecer: isto pode envolver o conceito de dimens�o, de posto ou pode envolver o determinante como voc� sugeriu. Vamos tentar demonstrar que BA = I e ver exatamente o que precisamos. Escreva BA = X. Temos A(X-I) = A(BA) - A = (AB)A - A = A - A = 0. Analogamente (X-I)B = B. Assim se X n�o for igual a I, deduzimos que existem vetores n�o nulos v e w tais que Av = 0 e w^t B = 0. Por outro lado, como AB = I temos A(Bu) = u para todo u: assim A � sobrejetora mas n�o � injetora e B � injetora mas n�o � sobrejetora (como transforma��es lineares). Podemos considerar V0 = R^n, V1 a imagem de B, ..., Vk a imagem de B^k, .... J� vimos que B � uma bije��o entre V0 e V1 e que V1 � um subespa�o pr�prio de V0: V2, a imagem de V1 por B, deve estar propriamente contido em V1. Assim temos uma seq��ncia infinita de subespa�os encaixados uns nos outros. Bem, acho que vou parar aqui, n�o vou escrever um livro inteiro de �lgebra linear. O que eu fiz talvez conven�a voc� que esta conversa pede pelo conceito de dimens�o ou posto. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
