on 28.10.03 16:38, leonardo mattos at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Ola pessoal, > Uma certa resolucao de uma questao do ime de matrizes me despertou um > interesse pelo polinomio caracteristico de uma matriz jah q ateh entao eu > nao tinha ouvido falar, ateh pq eu sei apenas o basico de algebra linear =] > Eu gostaria de saber o seguinte: > - Para cada matriz eu tenho apenas 1 polinomio caracteristico ou uma matriz > pode ter mais de 1? O polinomio caracteristico de uma matriz quadrada A eh unico e, por definicao, igual a p(x) = det(xI - A).
> - Que situacoes podem amarrar o grau de um polinomio caracteristico de uma > matriz? Se eu disser por exemplo q uma matriz eh idempotente eu jah amarro o > grau do polinomio caracteristico dessa matriz? Na verdade voce deve falar em "o" (e nao "um") p.c. de uma matriz, pois este eh unico, por definicao. O grau do p.c. soh depende da ordem da matriz. Uma matriz n x n tem um p.c. de grau n. Eh soh olhar pra definicao. O termo de maior grau do p.c. corresponde a diagonal principal de det(xI - A), que eh igual a: (x - a(1,1))*(x - a(2,2))*...*(x - a(n,n)). Isso implica, por exemplo, que o p.c. de uma matriz eh monico. Existe um outro polinomio associado a matriz que eh o polinomio minimo - por definicao, igual ao polinomio monico de menor grau que tem aquela matriz como raiz. Nao eh dificil provar que: 1) o p.m. de uma matriz eh unico; 2) o p.m. divide o p.c. e, de fato, qualquer outro polinomio que tenha a matriz correspondente como raiz; 3) Se A <> I e A^2 = A, entao 0 eh raiz do p.c. de A. Repare que isso afeta o termo independente do p.c. de A mas nao o seu grau, que eh igual a ordem da matriz. > Basicamente oq eu gostaria de saber eh isso, mas se alguem quiser comentar > mais alguma coisa saiba que seu comentario sera de grande utilidade =] > > Um abra�o, Leonardo > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
