colegas desta lista ... OBM-L,
1) A dificuldade do problema e precisamente exibir uma AGMP. E verdade que uma AGMP tera exatamente 56 cartoes ( neste caso ). De maneira geral, se P e primo e sao sorteados P numeros de {1,2,...,P^2} o total de cartoes de uma AGMP sera de P*(P+1), desde que cada cartao tenha exatmente P dezenas ( eu nao coloquei as coisas assim para que tudo ficasse mais facil ).
2) Eu conheco tres caminhos para se montar uma AGMP : usando numeros binomiais, planos afins ou matrizes. Em verdade, se P e primo, toda potencia de P (P^N) permite uma AGMP. A forma matricial e uma generalizacao do processo de transposicao de matrizes. Penso que este e o caminho mais acessivel pra voce.
Sugestao ( ";" = fim de linha. Modelo : [linha 1 ; linha 2] )
[1,2 ; 3,4],[1,3 ; 2;4],[1,4 ; 2;3]
E uma AGMP para P = 2. Construa AGMP's para P=3,5,... e procure descobrir a lei de formacao. E uma generalizacao do processo de transposicao de matrizes.
3)Uma "aposta" pode ser um cartao ou varios. O total de triplos que uma pessoa acerta e a soma dos acertos de cada um de seus cartoes. Ganha o primeiro premio que acertar mais triplos e nao quem tenha o cartao individual que acertou mais triplos.
Exemplo :
Joao, 1 cartao : acertou 3 triplos
jose, 2 cartoes : 2 triplos certos no primeiro cartao, 2 triplos certos no segundo cartao. Total : 4 triplos.
Vencedor : Jose.
4) A quantidade de triplos apostados de uma AGMP e constante. Existem uma quantidade enorme de AGMP's
5) Em verdade, as AGMP's sao estruturas de grande beleza ... considere que UM DUPLO e um PEIXE PEQUENO. Uma AGMP seria, assim, uma rede que pega todos os duplos, isto e, todos os peixes pequenos, qualquer que seja o sorteio que algum *GMM bolar ... E possivel extender essas AGMP's de forma que um conjunto de AGMP's se torna uma rede de outra categoria que apanha todos os triplos. Um conjunto dessas ultimas pega todos as quadras e assim sucessivamente ...
Se voce considerar que um DUPLO e UMA COMUNICACAO e um CARTAO DE APOSTAS e uma equipe de pessoas, uma AGMP seria uma rede de comunicacao na qual cada duas pessoas estariam juntas uma unica vez em determinada equipe e qualquer duas pessoas estiveram ou estarao juntas, tudo isso acontecendo uma unica vez ... Quer dizer, voce pode aplicar isso em treinamento, telecomunicacoes etc.
Eu nunca li na literatura Matematica alguem falando sobre AGMP's. Eu descobri estas coisas ha muito tempo atras, generalizando o conceito de transposicao de matrizes, de forma a incluir nesta generalizacao o processo de Linnus Pauling para determinacao dos niveis energeticos dos eletrons em Mecanica Quantica.
Eu acho que isso e suficiente para voce perceber com que estrutura maravilhosa voce esta lidando : basta ter olhos adeguadas pra ver ...
Bom, eu vou ficando por aqui. O meu chefe quer uma planilha simploria pra controlar os bug's de hardware.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
6,1712,070203
From: "Cl�udio \(Pr�tica\)" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] Loteria Matematica II ( correcao )
Date: Fri, 7 Feb 2003 16:26:27 -0200
Caro Paulo:
Fiz algumas coisas com rela��o a este seu problema. Gostaria de coment�rios.
>
>Numa loteria sao sorteados 7 numeros escolhidos aleatoriamente de
>{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com
>exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar
>sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua
>aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a
>pessoa que acertar o maior numero de triplos.
>
>1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar
>o primeiro premio
>2 ) Qual o valor da probabilidade acima ?
>
PARTE 1:
Quaisquer dois cart�es de uma aposta gratuita podem ter no m�ximo 1 n�mero
em comum.
Logo, qualquer par (n�o ordenado) de n�meros de {1,2,...,49} s� pode estar
contido em no m�ximo 1 cart�o.
Seja M o n�mero de cart�es numa aposta gratuita de m�xima probabilidade
(agmp).
Cada cart�o cont�m C(7,2) = 21 pares de n�meros.
Logo, o n�mero de pares representados nos M cart�es � igual a 21*M.
O n�mero total de pares contidos em {1,2,...,49} � C(49,2) = 1.176.
Logo, vale a desigualdade: 21*M <= 1.176 ==> M <= 56.
Logo, uma agmp consiste de, no m�ximo, 56 cart�es.
Pode ser que seja poss�vel uma agmp com exatamente 56 cart�es mas eu n�o
consegui construir uma.
************
PARTE 2:
Com 7 n�meros por cart�o, o n�mero de triplos contidos em cada cart�o �
C(7,3) = 35. Como s�o sorteados 7 n�meros, o n�mero de triplos vencedores
tamb�m � igual a 35.
Al�m disso, um dado triplo pode estar contido em no m�ximo um cart�o de uma
agmp, a qual, portanto, estar� apostando em 35*M triplos.
Neste ponto surgiu a minha d�vida: o primeiro pr�mio � dado a quem tiver o
cart�o com o maior n�mero de triplos vencedores ou a quem tiver a maior soma
dos n�meros de triplos vencedores em cada cart�o apostado. Por exemplo,
suponha que os 7 n�meros sorteados sejam {1,2,3,4,5,6,7} e que um apostador
tenha jogado tr�s cart�es:
{1,2,3,4,10,11,12}, {4,5,6,20,21,22,23} e {1,6,7,30,31,32,33}
Ent�o devemos considerar que este jogador acertou 6 triplos ({1,2,3},
{1,2,4}, {1,3,4}e {2,3,4} no primeiro cart�o, {4,5,6} no segundo e {1,6,7}
no terceiro) ou apenas tomar o seu cart�o com o maior n�mero de triplos
vencedores (no caso, o primeiro, com 4 triplos) e dizer que ele acertou
apenas 4 triplos?
De qualquer forma, a probabilidade desejada n�o � a de se acertar um
determinado n�mero de triplos, mas sim a de se acertar mais triplos do que
qualquer outro jogador. Esta probabilidade dever� depender das apostas
feitas pelos outros jogadores. Por exemplo, se algum jogador fizer uma
aposta (n�o gratuita) que consiste de todos os C(49,7) cart�es poss�veis,
ent�o, a probabilidade da agmp ganhar o primeiro pr�mio � menor do que seria
se cada um dos outros jogadores apostar apenas um cart�o.
Um abra�o,
Claudio.
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