Caro Paulo:
Fiz algumas coisas com rela��o a este seu problema. Gostaria de coment�rios.
>
>Numa loteria sao sorteados 7 numeros escolhidos aleatoriamente de
>{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com
>exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar
>sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua
>aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a
>pessoa que acertar o maior numero de triplos.
>
>1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar
>o primeiro premio
>2 ) Qual o valor da probabilidade acima ?
>
PARTE 1:
Quaisquer dois cart�es de uma aposta gratuita podem ter no m�ximo 1 n�mero
em comum.
Logo, qualquer par (n�o ordenado) de n�meros de {1,2,...,49} s� pode estar
contido em no m�ximo 1 cart�o.
Seja M o n�mero de cart�es numa aposta gratuita de m�xima probabilidade
(agmp).
Cada cart�o cont�m C(7,2) = 21 pares de n�meros.
Logo, o n�mero de pares representados nos M cart�es � igual a 21*M.
O n�mero total de pares contidos em {1,2,...,49} � C(49,2) = 1.176.
Logo, vale a desigualdade: 21*M <= 1.176 ==> M <= 56.
Logo, uma agmp consiste de, no m�ximo, 56 cart�es.
Pode ser que seja poss�vel uma agmp com exatamente 56 cart�es mas eu n�o
consegui construir uma.
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PARTE 2:
Com 7 n�meros por cart�o, o n�mero de triplos contidos em cada cart�o �
C(7,3) = 35. Como s�o sorteados 7 n�meros, o n�mero de triplos vencedores
tamb�m � igual a 35.
Al�m disso, um dado triplo pode estar contido em no m�ximo um cart�o de uma
agmp, a qual, portanto, estar� apostando em 35*M triplos.
Neste ponto surgiu a minha d�vida: o primeiro pr�mio � dado a quem tiver o
cart�o com o maior n�mero de triplos vencedores ou a quem tiver a maior soma
dos n�meros de triplos vencedores em cada cart�o apostado. Por exemplo,
suponha que os 7 n�meros sorteados sejam {1,2,3,4,5,6,7} e que um apostador
tenha jogado tr�s cart�es:
{1,2,3,4,10,11,12}, {4,5,6,20,21,22,23} e {1,6,7,30,31,32,33}
Ent�o devemos considerar que este jogador acertou 6 triplos ({1,2,3},
{1,2,4}, {1,3,4}e {2,3,4} no primeiro cart�o, {4,5,6} no segundo e {1,6,7}
no terceiro) ou apenas tomar o seu cart�o com o maior n�mero de triplos
vencedores (no caso, o primeiro, com 4 triplos) e dizer que ele acertou
apenas 4 triplos?
De qualquer forma, a probabilidade desejada n�o � a de se acertar um
determinado n�mero de triplos, mas sim a de se acertar mais triplos do que
qualquer outro jogador. Esta probabilidade dever� depender das apostas
feitas pelos outros jogadores. Por exemplo, se algum jogador fizer uma
aposta (n�o gratuita) que consiste de todos os C(49,7) cart�es poss�veis,
ent�o, a probabilidade da agmp ganhar o primeiro pr�mio � menor do que seria
se cada um dos outros jogadores apostar apenas um cart�o.
Um abra�o,
Claudio.
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