[obm-l] =?iso-8859-1?Q?desigualdade_das_m=E9dis_aritm=E9tica_e_geom=E9trica.?=

[Artur Costa Steiner]

>neste endere�o (pag. 12) vc encontra uma prova por indu��o reversa da >desigualdade >das m�dias .. al�m de muitas outras provas interessantes por indu��o !!   Para a desigualdade das m�dias artm�tica e geom�trica, h� tamb�m uma prova interessante baseada nas propriedades da fun��o exponencial:   Desigualdade das M�dias Aritm�tica e Geom�trica: A m�dia aritm�tica de n n�meros positivos � maior ou igual do que a m�dia geom�trica deste mesmos n�meros, ocorrendo igualdade se, e somente se, os n�meros forem todos iguais.   Conven��es sse = se, e somente se, x_n = x �ndice n S(i=1 n) x_i = somat�rio de i=1 at� n dos x_i P (i=1 n) x_i =produto de i=1 at� n dos x_i � Basearemos a demonstra��o na propriedade da fun��o exponencial segundo a qual e^x >= 1+x para qualquer real x, ocorrendo igualdade sse x=0.   Sejam x_1,....x_n n�meros positivos e sejam A e G as respectivas M�dias aritm�tica e geom�trica. Para cada i =1,...n, definamos r_i como o desvio relativo de x_i com rela��o a A, ou seja r_i = (x_i - A)/A = x_i/A - 1 (1). Verificamos facilmente que S(i=1 n) r_i� = 0 (2). Pela citada� propriedade da fun��o exponencial, temos, para cada i=1,...n, que e^r_i >= 1+ r_i, ocorrendo igualdade sse r_i=0. Em virtude de (1), segue-se que e^r_i >= x_i/A (3), ocorrendo igualdade sse x_i=A. Como ambos os membros das n desigualdades englobadas em (3) s�o positivos, temos que P (i=1 n) e^r_i >= P (i=1 n) x_i/A (4),� ocorrendo igualdade sse x_i=A para cada i=1,....n . Pelas propriedades da fun��o exponencial, temos que P (i=1 n) e^r_i = e^[S(i=1 n) r_i], o que, em virtude de (2), leva a que P(i=1 n) e^r_i = e^0 =1. Por outro lado, P (i=1 n) x_i/A =[P (i=1 n) x_i]/(A^n) = (G/A)^n. Considerando-se (4), conclu�mos que 1 >=�� (G/A)^n� e que, consequentemente, A>=G. Conforme visto, ocorre igualdade sse x_1, ..x_n. Isto demonstra a desigualdade   Artur