Realmente � um problema interessante e aqui vai umas das solu��es.
Uma solu��o trivial para (-a)k = a-k , � a=0 ,claro, para k ≠ 0.
Mas, vamos estudar um pouco a equa��o.
Para a≠0;
(-a)k = a-k_ (-1)k.ak = a-k_ a-2k = (-1)k, mas i2= � 1, ent�o, a-2k = i2k (*)
Antes de continuar vamos relembrar as pot�ncias de i.
i = ( - 1)1/2; i2 = -1; i3 = -i; i4 = 1, a partir da� come�a a repetir , logo temos que,
i, se 2k=1(mod4) I -1, se 2k=2(mod4) II -i, se 2k=3 (mod4) III 1, se 2k=0(mod4) IV
i2k =
- Se ocorrer I ent�o de (*) tiramos que a-2k = i _ (a-1)2k = i. (1)
- Se ocorrer II ent�o de (*) tiramos que a-2k = -1 _ (a-1)2k = -1. (2)
- Se ocorrer III ent�o de (*) tiramos que a-2k = -i _ (a-1)2k = -i. (3)
- Se ocorrer IV ent�o de (*) tiramos que a-2k = 1 _ (a-1)2k = 1. (4)
Observe que (1), (2), (3) e (4) est�o satisfazendo a pr�pria potencia��o de i. Logo uma solu��o para a equa��o �
a-1 = i _ a = -i
Conferindo: a=-i; [-(-i)]k = (-1/i)k _ ( i )k = ( i )k � solu��o.
A outra solu��o � justamente o conjugado de a ou seja a = i , pois,
( - i )k = ( i )-k _ (-i )k =(1/i)k _ (-i )k = (-i )k � solu��o
Solu��es {0, -i ,i }.
Agora vem uma d�vida. E se fix�ssemos o k = i. A equa��o teria solu��o, ou seja para quais valores de a∈ C ter�amos (-a)i = ai , ?
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