Olás,
Só pontuando algumas coisinhas;
- resultados de consistência em modelos de ZFA, esses tais modelos de
permutacoes com átomos, podem ser, em geral, transferidos para ZF por
resultados de Pincus; quem quiser eu corro atrás da referência. Carlos
devia saber disso já, é meio padrao no contexto de versoes fracas do
Axioma da Escolha.
- apesar desses Boolean Valued Models serem eventualmente meio
misteriosos mesmos, modelos para fragmentos de ZFC nao sao tao
difíceis de encontrar: tomamos o conjunto dos conjuntos
hereditariamente menor do que kappa, para
kappa regular e nao-enumerável (é o tal H(kappa)), e já temos um
modelo de ZFC - Partes, tomando kappa suficientemente grande temos
versoes restritas de Partes para o que precisarmos, usando LS pra
baixo conseguimos um submodelo enumerável - ou elementar para
trabalhar como submodelo elementar, ou transitivo se quiser fazer
forcing - e... Pronto. Claro que no fundo no fundo é um modelo
enumerável, mas a brincadeira de "o que se vê por dentro e o que se vê
por fora" está no nosso meio desde o Paradoxo de Skolem e vai
continuar né ?
- eu tenho um aluno que é louco para fazer tudo em segunda ordem,
impressionado por exemplo com a coisa da reta ser categórica em
segunda ordem... Ganha-se algumas coisas, perde-se outras (LS é a
primeira perda que eu sempre me lembro), mas é sim uma discussao
fascinante e que quase nao se faz.
Eu no final fico meio que "tranquilo" com a coisa de primeira ordem e
segunda ordem porque, quando se vive dentro de ZFC sem nem ir na
esquina (que é o que eu faco), como os subconjuntos de um conjunto sao
também conjuntos os quantificadores de primeira ordem, para conjuntos,
meio que descrevem tudo o que eu preciso (e aqueles papos do tipo
"dizer que todo subconjunto é bem ordenado" é de segunda ordem, ou
"dizer que todo subconjunto da reta limitado superiormente tem
supremo" é de segunda ordem - pra mim nao incomodam, porque os meus
quantificadores percorrem conjuntos e, em Teoria dos Conjuntos, tudo é
conjunto - incluindo os subconjuntos de um conjunto - e "tudo bem").
Mas é claro que eu só digo isso porque eu nao vou nem na esquina, fico
ali em ZFC tranquilinho. A(s) diferenca(s) entre primeira e segunda
ordem está(ao) aí para ser(em) estudada(s), investigada(s) e
discutida(s).
Atés,
[]s Samuel
Quoting Carlos Gonzalez <gonza...@gmail.com>:
Não estou compreendendo muito bem qual é o direcionamento que estão
querendo dar a esta discussão.
Em primeiro lugar, já que nomearam L-S, entram em pauta as questões de
relativização, pois se não considerarmos essas questões a coisa passa
de confusa para contraditória. Eu gosto da linguagem metafórica na
qual é comum falar de relativização. Uma pessoa pode viver num modelo
de ZFC que tem grandes cardinais: inaccessíveis, mensuráveis,
compactos, etc., e ele tem o maior orgulho dos seus grandes cardinais.
Mas ele está enganado, pois vive num modelo enumerável, de modo que o
que ele vê como grandes cardinais são, vistos desde fora, conjuntos
enumeráveis. Analogamente, uma pessoa poderia viver num modelo de ZFC
que é um grupo, sem poder saber nunca desde dentro do modelo, que ele
é um grupo.
Para piorar a coisa, foram inventados um monte de truques lógicos para
evitar o sistema provar a sua própria consistência, contradizendo o
Teorema de Gödel. Consequentemente, como não pode demonstrar um ZFC a
existência de um conjunto que seja modelo de ZFC, então recorre a
coisas como "classes próprias virtuais", fundadas em relativização de
quantificadores, etc., etc., etc. Assim, é pensado intuitivamente como
um modelo, mas não é um modelo na demonstração formal, no sentido
estrito de "modelo". Por exemplo, nos Boolean Valued Models de ZFC,
uma álgebra de Boole é o modelo, intuitivamente falando, mas nunca é
demonstrado formalmente e no sentido estrito que existe uma tal
álgebra.
Na minha primeira prova de consistência em teoria de conjuntos, usei
uma técnica denominada "modelos de permutação", modelos baseados em
grupos de permutações: as permutações de um grupo específico, permutam
todo o universo do modelo da teoria de conjuntos, falando
intuitivamente. É uma técnica antiga, inventada por Fraenkel nos
1920's, melhorada por Mostowski e que está explicada muito bem no
livro de Felgner nas LNM. Alguma das provas originais de Cohen com
forcing usa esse sentido intuitivo de permutação para provar a
independência do Axioma da Escolha.
Quando começa a definir determinados grupos, pode encontrar surpresas.
Por exemplo, parece que quase ninguém esperava que os grupos
reticulados "ocultassem" uma aritmética, de modo que podem ser
aplicados resultados de Gödel. Não sou a pessoa certa para falar de
"grupos especiais" (no sentido técnico das palavras, os grupos usados
por Miraglia e Dickmann), mas é um outro uso de grupos com ferramentas
da teoria de modelos.
Em síntese: não vejo nada de estranho uma pessoa morar num modelo de
ZFC e que alguém prove que desde fora esse modelo particular é um
grupo. O que de dentro do modelo é pensado como uma relação de
pertinência primitiva (indefinida), de fora é uma relação definida na
base das operações do grupo. Nem me parece uma coisa muito divertida
para demonstrar.
Carlos
2013/5/25 <sam...@ufba.br>:
Olás,
Sim, creio que um upward LS resolve também. Mas o grupo das palavras nas
kappa letras é mais palpável para os matemáticos mainstream, que nem sabem
de LS, para baixo ou para cima... Como eu vivo entre matemáticos mainstream,
acabo de me acostumando com esses exemplos.
Outra coisa engracada pra se discutir é que boa parte dos resultados de
consistência que se faz por aí (por forcing ou submodelos elementares ou
combinacoes de coisas assim) sao feitos com CONJUNTOS que sao modelos de ZF
- claaaaaaro que na verdade sao modelos de um fragmento conveniente dele, no
caso, etc.
A idéia é que se um teorema tivesse contra-exemplo, esse caso particular
estaria contido num fragmento de ZF. Portanto, se mostramos que um dado
teorema é sempre verdadeiro em fragmentos convenientes de ZF, ou de ZFC,
estamos provando sua consistência, por impedir a existência dos tais
contra-exemplos.
Atés,
[]s Samuel
Quoting Joao Marcos <botoc...@gmail.com>:
(Nao sei se G é candidato a modelar ZFC; nao vejo porque, por exemplo,
valha
o Axioma da Substituicao com os quantificadores restritos a G, mas é algo
a
se pensar, claro)
Queria acrescentar que eu acho que não é um candidato. Eu só achei
que o "argumento da cardinalidade" formulado antes não era
convincente, pois os modelos de ZF afinal não precisam ser
"grandes"... E, claro, você tem razão em dizer que "existem grupos
para cada cardinalidade" (Löwenheim-Skolem na forma *ascendente*
poderia ser invocado, neste caso, mesmo se não conhecêssemos os
exemplos que você sugeriu?).
Abraços, JM
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