Oi Petrucio,
Em geometria euclidiana plana "à la Birkhoff" (usando números reais, digamos),
não existem "coordenadas do plano" e tal: isso é uma particularidade
do modelo euclidiano do R2.
Colocamos como axiomas: (i) que a todo segmento podemos associar um
número real positivo, chamado comprimento; e (ii) que esse comprimento
coincide com a tal distância entre dois pontos, a qual deve concordar
com o chamado Axioma da Régua, que é o Axioma que diz que toda régua
possui um sistema de coordenadas (bijeção com a reta real preservando
distâncias...).
De modo que não faz sentido
- calcular a distância de um ponto a si mesmo, já que um ponto só não
configura um segmento (podemos convencionar que é zero, mas não segue
da definição).
- dizer "a menor distância possível entre dois pontos", porque a
distância é uma só - o comprimento do segmento.
Tem umas sutilezas bravas aí. Por exemplo, poderia acontecer, a
princípio, que duas retas diferentes tivessem "distâncias diferentes",
no sentido das escalas serem diferentes - nada a princípio garante que
não exista uma reta com o sistema dado por centímetros e outra reta
com o sistema dado por polegadas, ou quilômetros... O axioma que faz o
papel de colocar tudo numa única escala é - talvez surpreendentemente
- o axioma Lado, Ângulo, Lado de Congruência de Triângulos. É esse
axioma que traz rigidez ao sistema: a partir desse axioma, sabemos que
todas as retas estão em mesma escala, assim como em todos os pontos
podemos colocar o transferidor e medir ângulos de modo consistente com
o outro Axioma de medidas, o Axioma do Transferidor.
Quando chega no R2, é modelo de tudo e fica sem graça.
Até,
[]s Samuel
Quoting Jorge Petrucio Viana <petru...@cos.ufrj.br>:
humm
algo esta me escapando
nos meus livros de geometria euclidiana
pontos nao tem coordenadas
distancia nao e "definida" por uma formula
e se fosse
a "explicacao" que eu enviei numa msg anterior
nao explicaria por que razao a distancia de um ponto a si mesmo e 0
e nem explicaria como calcular a distancia entre dois pontos que
estao sobre uma mesma reta
(e nao sobre a hipotenusa de um triangulo retangulo
que pode so pode ser construido quando a reta que passa pelos dois
pontos "genericos"
nao e paralela ao eixo 0x)
abracos
P
---------- Original Message -----------
From: sam...@ufba.br
To: logica-l@dimap.ufrn.br
Sent: Sat, 20 Apr 2013 12:32:26 -0300
Subject: Re: [Logica-l] Digest Logica-l, volume 86, assunto 17
Olás,
Eu ia escrever aqui essencialmente o que o Walter já disse sobre a
"definição" de distância, em todo o caso resta uma historinha
engraçada: um (bom) aluno de Geometria Euclidiana (axiomática,
disciplina que para um Lógico é uma delícia de ministrar) uma vez me
perguntou:
- Como eu provo que o comprimento do segmento de reta é a menor
distância entre dois pontos ?
- Pois é... Não se prova. ISSO É DEFINIDO ASSIM.
O menino arregalou os olhos em desespero e desilusão... Depois eu
ainda tentei salvar o dia do menino, falar em cálculo variacional,
pensar em comprimentos de curvas e pensar na curva que minimiza lá a
tal da integral e tudo, mas não teve jeito, o menino continou com o
desespero e a desilusão por todo o dia, hehe.
Atés,
[]s Samuel
PS: Claro que no contexto de Geometria Euclidiana elementar, não
existe "a menor distância", porque a distância é uma só, e definida de
modo consistente com o Teorema de Pitágoras, como Walter já observou.
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