João, O comentário do Thomas Foster que você citou é historicamente correto. Ao contrário do que argumentava Aristóteles no Organon, sobre as ciências demonstrativas, não é verdade que todo conhecimento matemático tivesse sido criado de conhecimento matemático pré-existente: a Matemática avançou com a inovação, com gente ousando resolver problemas difíceis por ideias novas e mesmo apresentando soluções corretas que os outros matemáticos da mesma época achavam matematicamente erradas. Certamente, vários devem ter sido acusados de não saber fazer as contas e não me espantaria se dissessem ou isso ou algo equivalente acerca de Cantor. Ou seja, é sim fato que os matemáticos estão conseguindo estender o universo de entidades matemáticas, senão não estaríamos vendo tantas aplicações desses conceitos a tantas classes de problemas. Não vejo problema no comentário dele, é até uma verdade muito evidente.
Em 21 de janeiro de 2013 23:28, Joao Marcos <[email protected]> escreveu: > Entendo que o argumento lógico-filosófico de Thomas Forster pretendia > ir ser mais do que um "ponto histórico para auxiliar numa aula"... > > Entendo que não é esta a sua preocupação neste momento, Tony, mas > seria interessante ouvir a opinião dos colegas mais "filosoficamente > sensíveis" sobre o supra-citado argumento. > > Abraço, > Joao Marcos > > > 2013/1/21 Tony Marmo <[email protected]>: > > Então João, você encontrou um ponto histórico interessante para auxiliar > > numa aula. > > Mas, veja outro caso: começar a ensinar topologia pelo problema das 7 > pontes > > de Conisberga funciona bem, melhora o entendimento e desperta mais o > > interesse. > > > > Em 21 de janeiro de 2013 19:27, Joao Marcos <[email protected]> > escreveu: > >> > >> > A explicação em si não esclarece nada. > >> > >> Há controvérsias... :-) > >> (vide os comentários no blog, no sentido contrário) > >> > >> > Para passar a ideia, é bom saber dizer a que ela se associa, ou se > >> > aplica > >> > ou de que serve saber aquilo. Por exemplo, no caso ensinar que os > reais > >> > não > >> > são um conjunto infinito enumerável soa como "beletrismo" se a pessoa > >> > não > >> > souber em primeiro lugar dizer que problemas historicamente motivaram > os > >> > matemáticos a diferenciar tipos de infinitos, ou que conceitos > práticos > >> > utilizam isso. Por exemplo, falar dos axiomas da geometria, falar dos > >> > problemas paradoxos depois descobertos, ajuda a contextualizar a > >> > contribuição de Cantor e depois a entender seus teoremas. > >> > >> Não me parece óbvio como o contexto histórico facilitaria a > >> compreensão do teorema em si. Posto de outra forma: posso imaginar > >> perfeitamente como um *matemático moderno* poderia compreender > >> perfeitamente o argumento matemático da diagonal sem jamais ter ouvido > >> falar em Cantor. > >> > >> * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * > >> * * * * * * * > >> > >> Há não obstante um ponto interessante que valeria a pena discutir > >> aqui, e que diz respeito ao motivo pelo qual o argumento de Cantor foi > >> muito mal recebido pelo *matemático do século XIX*. No século XVIII, > >> um matemático poderia certamente começar um argumento pedindo para o > >> leitor considerar "um número inteiro arbitrário", ou um "número real > >> arbitrário", mas NÃO poderia pedir para o leitor considerar um > >> "conjunto arbitrário" ou uma "função arbitrária sobre os reais" ou um > >> "algoritmo arbitrário". O motivo estaria justamente no fato de que > >> estas últimas entidades não estariam entre aquelas "entidades de > >> verdade" sobre as quais se poderia quantificar. Elas não estavam bem > >> definidas antes dos trabalhos de Cantor, Dedekind, Hilbert, Church e > >> Turing. A respeitabilidade destas _entidades_ (no sentido quineano do > >> termo) são uma contribuição da Lógica Moderna. Quando Cantor falava > >> sobre "Menge", em abstrato, ele não era compreendido pelos matemáticos > >> de sua época (mas pode ser compreendido hoje por um jovem arbitrário > >> que esteja cursando o Ensino Médio). A dificuldade de pensar em > >> abstrato no "Verfahren" que permitiria resolver equações diofantinas > >> afastava de Hilbert a possibilidade de resolver seu 10o problema (que > >> ainda teve que esperar até Matiyasevich e Robinson, na recente década > >> de 70). > >> > >> Se Thomas Forster estiver correto no argumento do parágrafo acima, que > >> adaptei semi-servilmente da Introdução do seu interessante livro > >> "Logic, Induction and Sets", novos progressos seguirão da nossa > >> capacidade de estender ainda mais o universo de entidades > >> matematicamente respeitáveis, adicionando ao nosso repertório, por > >> exemplo, a possibilidade de falar em "demonstrações arbitrárias" e em > >> "jogos arbitrários" (os exemplos são do Forster). [E a isto a área de > >> Computação, com sua visão _estrutural_ do universo matemático, > >> contribuirá no século XXI mais do que a Filosofia e a Matemática.] > >> > >> * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * > >> * * * * * * * > >> > >> O filme sobre Cantor trabalhou exatamente sobre a ideia de que já é > >> possível compreender o que significa quantificar sobre "enumerações > >> arbitrárias" --- o que é MUITO interessante. Antes de Cantor isto não > >> era compreensível, e neste sentido a perspectiva histórica talvez > >> possa nos beneficiar. > >> > >> Seria interessante ouvir a opinião dos colegas sobre o argumento de > >> Thomas Forster [independente do que pus entre colchetes]. > >> Joao Marcos > >> > >> -- > >> http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ > >> _______________________________________________ > >> Logica-l mailing list > >> [email protected] > >> http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l > > > > > > > > -- > http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ > _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
