Olás,
Mais uma participaçãozinha na discussão sobre "a visão dos matemáticos
não-lógicos sobre a lógica" (acho que a coisa foi por esse caminho nos
últimos dias, então não estou falando do vídeo do Elon, hehe...).
Vou dar um exemplo prático pra vender uma idéia que vai contra o
"matemáticos podem ignorar de todo a Lógica no seu dia-a-dia":
Quem for dar, ou já deu, aula de Topologia Geral já deve ter visto
este resultadinho aqui:
"Se A é um subconjunto enumerável do R^2, então R^2 - A é conexo por caminhos"
(tem até no livro do... ops, não estamos falando dele. É um argumento
bem combinatório, no final, trace uma reta que não passe por nenhum
dos dois pontos e vá fazendo segmentos unindo cada um dos dois pontos
iniciais a pontos dessa reta. Alguma dessas justaposições de segmentos
não vai intersectar nenhum ponto de A, pois sao nao-enumeráveis
justaposições e enumeráveis pontos... Notar que podemos tirar até
mesmo um subconjunto denso do R^2 que o complementar ainda fica conexo
por caminhos !)
Pois bem. Para a cardinalidade de A igual a aleph_0, temos aí uma
coisa muito simples de fazer. Aumente um pouco o tamanho de A ! O que
ocorre se supusermos que A tem tamanho aleph_1 ? Se tem uma solução
simples para aleph_0, deve ter solução simples para aleph_1, não ?
Pois é... Com o tamanho de A sendo aleph_1, a questão é *indecidível*
para a Teoria dos Conjuntos, pois envolve equivalências com a Hipótese
do Contínuo !
Não querendo fazer propaganda do próprio trabalho mas já fazendo, isso
já está online pra quem quiser ver os detalhes:
http://mv.mi.sanu.ac.rs/Papers/MV2012_043.pdf
Moral da história: mesmo um matemático que não esteja próximo da
Lógica ou da Teoria dos Conjuntos pode fazer uma pergunta cuja
resposta envolve proposições indecidíveis, independentes da Teoria dos
Conjuntos. Pelo menos ele tem que estar *ciente* de que isso pode
acontecer !!!
"Even if one is not interested in consistency results per se, it is
nonetheless prudent to be aware of them, lest one waste effort trying
to prove a proposition that has a consistent negation"
A frase acima é de Frank Tall, uma das lideranças na área de "set
theoretic topology" e está disponível num texto com vários resultados
de consistência e independência em Topologia, obviamente todos mais
profundos dos que eu fiz no meu trabalho acima. Disponível em:
http://www.math.toronto.edu/tall/publications/55.pdf
Ou seja: quem quiser ignorar a Lógica de todo, está correndo o risco
de procurar respostas que serão impossíveis de serem encontradas - sem
nem mesmo saber que isso pode acontecer. Aquele personagem fictício
chamado "Tio Petros", do livro "Tio Petros e a Conjectura de
Goldbach", teve uma epifania na hora que soube dos Teoremas de
Incompletude de Gödel...
Até,
[]s Samuel
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