Olá colegas, Estou preparando uma apresentacao (que se propoe básica) sobre alguns aspectos de inconsistência e independência em matemática, e, como alguém da Teoria dos Conjuntos, sou muito mais "usuário" do que "estudioso" dos Teoremas de Incompletude.
Entao "topei" com algo que nao deve (mesmo !) entrar na apresentacao, mas que me despertou curiosidade. No verbete sobre Gödel da Stanford Encyclopedia, é citado que ele, numa resenha (1934) de um artigo de Skolem (sobre ultraprodutos), teria observado que a existência de modelos nao-standard de PA seguiria do Teorema da Incompletude. Algumas pessoas até estranham que ele nao teria citado o "caminho mais fácil", que seria o Teorema da Compacidade... Nao achei essa resenha. Mas achei em alguns textos este argumento (no que segue, G é a - ou, talvez melhor, uma - sentenca de Godel, sendo assim equivalente à sua nao-demonstrabilidade): ************************************************************************** "Suponha PA consistente. Entao, pelo Primeiro Teorema de Incompletude, PA nao prova a sentenca de Godel G. Segue que PA + ~G é consistente, logo, pelo Teorema da Completude para teorias de primeira ordem, tem modelo. Nesse modelo vale ~G. Entao esse modelo difere do modelo standard, no qual a sentenca de Godel G é verdadeira". ************************************************************************** Apresento algumas questoes, nao sei se elas sao "bobagem" ou nao... 1) Alguém sabe se este é o argumento de Gödel na tal resenha, ou se ele usou esse argumento depois ? 2) Usualmente se diz que "G é verdadeira e nao pode ser demonstrada". Bem, G é (facilmente) equivalente à consistência de PA (o que inclusive já prova o Segundo Teorema de Incompletude). Muitas vezes se diz que "G é verdadeira no modelo standard" (isso aparece inclusive no argumento que eu destaquei acima). Essa afirmacao é intuitiva ou pode ser mesmo formalizada ? (sobre esse problema eu vi que se tem uma discussao filosófica interessante, "saber" (ou "ser capaz de deduzir que") que a sentenca G é verdadeira seria uma prova de que a mente humana supera os computadores, isso seria um tal argumento de Lucas/Penrose...) 3)(e aqui uma pergunta que se alguém me fizer hoje eu nao sei responder) A sentenca de Godel G é equivalente a Con(PA). Assim, se eu assumo Con(PA), estou assumindo que G é verdadeira. Ela nao deveria entao ser verdadeira em todos os modelos de PA ? Como fica o argumento acima para modelos nao-standard ? É isso, espero que os especialistas possam me ajudar... Grato, []s Samuel ---------------------------------------------------------------- Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br _______________________________________________ Logica-l mailing list Logica-l@dimap.ufrn.br http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
